Глава третья ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО КАК ОБЪЕКТИВНЫЙ ЗАКОН МЫШЛЕНИЯ

Подлинно научное истолкование смысла и значения формаль­но-логического закона исключенного третьего возможно только с позиций диалектического материализма.

Марксистско-ленинская теория закона исключенного третьего в корне отрицает идеалистические взгляды о том, что якобы за* кон исключенного третьего является субъективным законом MbIIIH ления, не имеющим никакого отношения к реальной действи­тельности, что закон исключенного третьего создан людьми произвольно, что он является «мнимым» законом и т.

Диалектический материализм учит, что как остальные фор­мально-логические законы мышления, так и закон исключенного третьего является объективным законом человеческого мышле­ния.

Это означает, во-первых, что закон исключенного третьего имеет свой аналог в объективной действительности, что он отра­жает определенное свойство вещей и явлений реальной действи* тельности. Вещи и явления объективной действительности на* ходится в беспрерывном процессе движения и изменения, воз* никновения и уничтожения. Но как бы ни изменялись окружаю­щие нас вещи и явления, они в каждый определенный момент имеют свою качественную определенность, являются именно данной вещью, данным явлением. В процессе развития и изме* нения объективно существующие вещи и явления утрачивают одни признаки и приобретают другие, вследствие чего часто про­тивоположности переходят друг в друга, каждая сторона про­тивоположности переходит в свою противоположность. Но в одно и то же время, в одном и том же отношении данная вещь 54

MJiiL явление не может обладать противоречащими свойствами. Так, например, данное тело не может в одно и то же время быть электропроводным и не быть электропроводным. Это свойство вещей и явлений объективной действительности отражается в законе Противоречия формальной ЛОГИКИ, который говорит, что два противоположных суждения одновременно не могут быть истинными Объективным основанием закона исключенного третьего является другое свойство вещей и процессов реальной действительности, то свойство, что у вещей и явлений не могут ■одновременно отсутствовать противоречащие признаки, что от­сутствие одного противоречащего признака предполагает нали­чие другого Тйк, например, если мы имеем предмет — бумагу и ее противоречащие признаки «белая» и «небелая», то данные признаки у бумаги одновременно отсутствовать не могут, если у бумаги нет признака белизны, то у нее непременно есть при­знак небелизны Явление, «война» имеет противоречащие при­знаки—«справедливая» и «несправедливая».

Это означает, во-вторых, что закон исключенного третьего действует независимо от воли и желания людей, мыслящих со­гласно этому закону. Закон этот существовал и существует, по­скольку существовало и существует человеческое общество, его никто не может уничтожить, как бы ни пытались это сделать идеалисты, начиная с Гегеля и кончая представителями совре­менной буржуазной реакционной философии, так называемого семантического идеализма, который отрицает объективный ха­рактер законов логики и заявляет, что законы эти устанавлива­ются людьми произвольно. Один из семантиков А Айер пишет: «Одно или другое из обоих взаимопротиворечащих предложе­ний должно быть ложно не потому, что мир так устроен Это по­тому, что мы строим свой язык так, что сочетание предложения с противоречащим ему предложением не имеет применения в описании»^,.

Но говорить об объективном характере закона исключенно­го третьего не значит отождествлять его с законами объектив­ной действительности Закон исключенного третьего объективен по своему содержанию, так как объективно по своему содержа­нию мышление. Но тем не менее как мышление есть отражение

* Цит. по: ж. «Вопросы философии», 1953, № 3, стр. 45.

объективной действительности, так и его закон исключенного третьего является отражением свойств вещей и явлений этой действительности.

C точки зрения марксизма закон исключенного третьего не­допустимо отрывать от объективной действительности, нельзя также отождествлять его с законами этой действительности.

Марксистская теория закона исключенного третьего в корне отрицает также метафизические извращения этого закона, гла­сящие, что якобы закон исключенного третьего принуждает на всякий вопрос отвечать или «да», или «нет», независимо от ка­ких-либо условий.

Подлинный смысл закона исключенного третьего заключается в том, что по этому закону два противоречащих суждения одно­временно в одном и том же отношении не могут быть ложными, так как из ложности одного из них вытекает истинность дру­гого.

Поэтому, чтобы разобрать смысл закона исключенного треть* его, необходимо прежде всего определить, какие суждения на* зываются противоречащими.

Классическая формальная логика, основы которой были за* ложены Аристотелем, противоречащими считала те два сужде­ния, у которых одинаковые субъекты и предикаты, но которые различаются друг от друга и по качеству, и по количеству, т. е. суждения общеутвердительные — частноотрицательные и суж* дения общеотрицательные — частноутвердительные.

Учение о противоречащих суждениях Аристотель развивает в своем произведении «Об истолковании». Аристотель опреде­ляет противоречащие суждения двояким образом.

В одном определении Аристотель противоречащими считает противостоящие друг другу утвердительное и отрицательное суждения: «Назовем противоречием тот случай, когда утверж- дейие и отрицание противостоят друг другу» *.

Затем Аристотель предупреждает, что необходимо, чтобы утверждение и отрицание относились к одному и тому же пред­мету, в одном и том же отношении, во избежание «софистических препирательств»².

'Аристотель. Об истолковании, 1891, стр. 27. ‘Там же

В другом определении Аристотеля противоречащими оказы­ваются суждения одинаковой материи с различными качеством и количеством. Аристотель пишет: «Противоположность утверж­дения и отрицания бывает тогда противоречивою, когда первое приписывает что-либо предмету вообще, а второе отрицает не вообще.

Принципом таких суждений является закон исключенного третьего; «Из суждений всеобщих противоречащих, определяе­мых всеобщим образом, по необходимости одно должно быть истинным, а другое ложным»^[98][99], — пишет Аристотель

Затем Аристотель прибавляет, что это самое (т. е. необхо­димая истинность одного и ложность другого. — М. Б.) отно­сится и к единичным суждениям, и приводит пример таких суж­дений: «Сократ бел и Сократ не бел». И здесь опять-таки Ари­стотель предупреждает о необходимости учитывать все обстоя­тельства во избежание «софистических препирательств». Вот что пишет Аристотель по этому поводу: «Если же суждения, бу­дучи всеобщими, не определены всеобщим образом (т. е. не учтены время, отношение. — М. Б.), то не всегда одно истинно, а другое ложно, ибо можно одновременно утверждать истинность того, что человек бел и человек не бел и что человек красив и человек не красив; ибо если он безобразен, то он не красив, если он становится красивым, то он еще не красив»^[100]

Аристотель считает: чтобы суждения были противоречащи­ми, необходимо отрицать именно то, что утверждается в утвер­дительном противостоящем суждении; а поэтому всякое утверж­дение может иметь лишь одно определенное отрицание. Что ка­сается общеутвердительных и общеотрицательных суждений, то их Аристотель называет просто противоположными: «Напротив, всеобщее утверждение противоположно всеобщему отрицанию, например: «Всякий человек справедлив» и «ни один человек не справедлив»^[101].

В «Категориях», говоря о том, к каким именно суждениям применим закон исключенного третьего, Аристотель пишет: «...только там, где одно противолежит другому'как утверждение и отрицание (и только в этих случаях), встречаем ту характер­ную черту, что всегда одно из двух высказываний (либо) истин­но, либо ложно»^[102].

После Аристотеля в истории логики одни авторы противоре­чащими суждениями считали те два суждения, из которых одно- отрицает то, что утверждает другое, невзирая на количество этих

'Суждений.

Светилин пишет: «Закон исключенного третьего простирается только на отношения между противоречащими мыслями, из коих одна составляет простое отрицание другой» ^[104].

Хотя большинство авторов по логике и не дают определения противоречащих суждений, но по приведенным ими примерам можно судить, что они считают суждения противоречащими именно в вышеуказанном смысле. Приведем несколько таких примеров:

«Это есть или А, или не-Л» (Бахман).

«Данный предмет А может быть или Сократом, или не-Со- кратом» (Минто).

«Камень должен быть или не быть твердым» (Рутковский)..

Другие авторы противоречащими считали те два суждения, которые имеют одинаковые субъекты и предикаты и различа­ются друг от друга не только по качеству, но и по количеству. Так, например, Троицкий писал: «Предложения противоречащие (Л и О, Eи /, или «Все Л суть всегда В»; или «Некоторые Л не суть В»; «Никакое Л никогда не бывает В» и «Некоторые Л суть В»), исключая друг друга, не допускают и середины меж­ду ними» ^[105].

В настоящее время у нас господствующим взглядом на про­тиворечащие суждения является следующий: противоречащими считаются два суждения с одинаковыми субъектами и предика­тами, которые различаются по качеству и по количеству, т. е. суждения Л и О, Eи / К таким суждениям закон исключенного третьего применяется непременно. Но так как из двух единичных суждений различного качества одно всегда истинно, другое лож­но, то указывается, что закон исключенного третьего применяет­ся также к единичным суждениям различного качества, хотя они не названы противоречащими суждениями, так как в логиче­ском квадрате они не могут располагаться как Л и О, E и 7.

Строгович находит, что два единичных суждения с одинако­выми субъектами и предикатами, которые различаются по ка-> честву, являются противоречащими. Но M C Строгович проти­воречащими называет только единично противоречащие сужде­ния Вот что пишет Строгович:

«Противоречащими индивидуальными суждениями называют­ся такие суждения, из которых одно отрицает то, что утверждает другое, не высказывая никакого иного утверждения».

это такие суждения, из которых одно что-нибудь утверждает, а другое отрицает то самое, чго утверждает первое относительно того же самого предмета» *. Строгович приводит следующие при­меры противоречащих суждений «этот стол деревянный», «этот стол не деревянный», «этот человек умен», «этот человек не умен», «логика есть наука», «логика не есть наука» и т. д.

Итак, согласно господствующему в настоящее время взгляду, получается, что закон исключенного третьего является законом противоречащих суждений, но применяется также к единичным суждениям различного качества, которые, согласно этому взгля­ду, не являются противоречащими суждениями. Возникает во­прос почему же два единичных суждения с одинаковыми субъ­ектами и предикатами и с различным качеством не считаются противоречащими суждениями? Только лишь потому, что послед­ние на логическом квадрате не могут быть расположены как контрадикторные суждения

Таким образом, в основе определения противоречащих суждений и, следовательно, в основе истолкования смысла закона исключенного третье­го лежит логический квадрат, см рис. 2, который, хотя и при­зван определить отношения между суждениями одинако­вой материи с различными ка­чеством И количеством, НО определяет ЭТИ отношения не совсем ГОЧ-' но. Дело в том, что единичные суждения одинаковой материи с

¹Строгович Логика, стр. 196.

различным качеством, которые в квадрате числятся как контрар­ные суждения, находятся в отношении противоречивости, как бу­дет показано ниже.

Академик А. О. Маковельский предлагает более удобную схе­му взамен логического квадрата, на которой можно выделить особое отношение между двумя единичными суждениями с оди­наковым субъектом и предикатом различного качества. Он пред” лагает к логическому квадрату пристроить еще один квадрат таким образом (рис. 3):

Буквами а и е обозначены единичные суждения: а — единич­но-утвердительное суждение, е — единично-отрицательное суж­дение, между ними отношение противоречивости Предлагаемая схема А. О. Маковельского изображает отношения между суж­дениями одинаковой материи с различными качеством и коли­чеством правильнее, чем логический квадрат.

Так как логический квадрат изображает отношения между суждениями и одинаковыми субъектами и предикатами различ­ного качества и количества не точно, то вопрос о законе исклю­ченного третьего и непосредственно связанный с ним вопрос о сущности противоречащих суждений необходимо разобрать независимо от логического квадрата.

Противоречащие суждения следует определить таким обра­зом: противоречащими называются два сужде­ния с одинаковыми субъектами и предиката­ми, из которых одно, являясь простым отри­цанием другого, не высказывает ничего, кро­ме этого.

Противоречащие суждения могут иметь одинаковое и различ­ное количество. Противоречащими являются:

1. Два единичных суждения, у которых одинаковые субъек­ты и предикаты и различное качество. Например:

Арарат — высокая гора.

Арарат не есть высокая гора.

Эта роза красная.

Эта роза некрасная.

2. Два суждения, у которых одинаковые субъекты и преди­каты и различное количество и качество. Например:

Все рабочие фабрики выполнили годовой план.

Некоторые рабочие фабрики не выполнили годового плана

Характерной особенностью противоречащих суждений перво­го вида является то, что отрицательное суждение, просто отри­цая смысл утвердительного суждения, не высказывает ничего нового Суждение «Арарат не есть высокая гора» просто отри­цает первое суждение и не говорит ничего о том, какая же она есть.

Принципиально такими же являются противоречащие сужде­ния второго вида. Здесь также одно суждение, отрицая другое, 6Й

не высказывает ничего нового. И действительно, для того чтобы отрицать суждение «Все рабочие фабрики выполнили годовой план», достаточно сказать, что некоторые из них (или по крайней мере один) не выполнили годового плана. Отрицая данное общее суждение, частноотрицательное суждение ничего не говорит о юм, что годового плана не выполнили все рабочие или какое- нибудь определенное число рабочих.

Чтобы яснее представить эту особенность противоречащих суждений, сравним их с противными суждениями. Приведем при­меры противных суждений:

Арарат — высокая гора.

Арарат — низкая гора.

Эта роза красная.

Эта роза белая.

Характерной особенностью этих суждений является то, что каждое из них, отрицая противоположное суждение, высказы­вает также нечто новое.

Принципиально не отличаются от таких суждений два общих суждения, у которых одинаковые субъекты и предикаты и раз­личное качество. Например:

Все рабочие фабрики выполнили годовой план.

Ни один рабочий фабрики не выполнил годового плана.

Второе суждение не только отрицает первое, но и высказы­вает нечто новое. Такого рода противоположность суждений на­зывается противной, или контрарной противоположно­стью Противные суждения одновременно не могут быть оба истинными, но одновременно ложными могут быть. Это значит, что к контрарным суждениям применяется закон противоречия, но к ним неприменим закон исключенного третьего^[106]. Но это ни в какой степени не умаляет значения закона исключенного тре­тьего в практике мышления Каждый закон отражает отношения между определенными явлениями и действует в сфере этих яв­лений Закон исключенного третьего является законом противо­речащих суждений и применяется ко всем противоречащим суж­дениям при наличии условий его действия.

Необходимо подчеркнуть, что в противоречащих суждениях одно и то же утверждается или отрицается об одном и том же в одно и то же время, в одном и том же смысле. Если же утвер­ждение и отрицание относятся к различным временам или имеют

различный смысл, то такие суждения не являются противоре­чащими.

Закон исключенного третьего впервые сформулировал Ари­стотель Его формулировка гласит- «Равным образом не может быть ничего посредине между двумя противоречащими (друг другу) суждениями, но об одном (субъекте) всякий отдельный предикат необходимо либо утверждать, либо отрицать»^[107]. Эта формулировка в основном правильно отражает сущность закона исключенного третьего. Недостатком этой формулировки являет­ся то, что вторая ее часть (об одном субъекте всякий отдельный предикат необходимо либо утверждать, либо отрицать) неточна. Более того, она в дальнейшем служила поводом отрицательного отношения к закону исключенного третьего со стороны логиков* идеалистов Так, например, Гегель писал, что закон исключен­ного третьего принуждает считать истинным одно из двух таких суждений, как: дух зеленый и дух незеленый, дух сладок и дух несладок и т д.

Советские логики дают следующие формулировки закона исключенного третьего:

«...Из двух противоречащих друг другу утверждений об от­ношении двух понятий одно утверждение — и только одно — не­обходимо должно быть истинным, так что невозможно никакое третье истинное утверждение об отношении между этими поня­тиями» ^[108](Асмус).

«.. Между утверждением чего-либо и отрицанием того же самого нет ничего третьего, или среднего- одно из них, т. е. утверждение или отрицание, истинно, а другое ложно»^[109] (Стро- гович).

«...Из двух противоречащих суждений об одном и том же одно суждение, безусловно, истинно, другое же ложно; или: из двух противоречащих суждений об одном и том же одно из этих суждений, безусловно, истинно, третья возможность исклю­чается»^[110] (Бакрадзе).

«Две противоречащие мысли об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении, не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными, одна из них истинна, а другая — ложна, и третьей быть не может»^[111](Кондаков).

«. Не могут быть вместе ложными два суждения, из которых в одном что-либо утверждается о чем-либо, а в другом то же самое отрицается о том же самом и притом только отрицается:

одно из них должно быть ложным, а другое истинным» ^[112](Ахма­нов).

Формулировка закона исключенного третьего, данная проф. В. Ф. Асмусом, неточна, так как, во-первых, она исходит из того положения, что суждение есть утверждение об отношении двух понятий, во-вторых, в ней противоречащими суждениями счита­ются два утверждения и, в-третьих, закон исключенного третье­го говорит не о том, что одно из противоречащих суждениі «должно быть истинным» (об этом говорит вытекающее из неге требование), а о том, что одно из противоречащих суждений я в л я е T с я истинным .

Формулировка, данная М. С. Строговичем, также неточна Она может служить поводом для новых возражений против за кона исключенного третьего. Ведь два общих суждения с оди паковыми субъектами и предикатами и различного качества! тоже являются «утверждением чего-либо и отрицанием того же самого», однако к ним закон исключенного третьего не приме­няется, так как они являются не противоречащими, а противны­ми суждениями.

В формулировке, данной К. С. Бакрадзе, является излишним повторение одной и той же мысли два раза, а также излишни слова «об одном и том же»; так как речь идет о противоречащих суждениях, то, разумеется, у них должны быть одни и те же предикаты и субъекты, иначе они не могут быть противореча­щими.

Формулировка, данная Н. И. Кондаковым, неправильна. Эта формулировка фактически является формулировкой двух зако­нов: закона противоречия и закона исключенного третьего. Что два противоречащих суждения одновременно не moγvtбыть лож­ными, об этом действительно говорит закон исключенного треть­его, но что два противор'ечащих суждения одновременно не мо­гут быть истинными, об этом говорит не закон исключенного третьего, а закон противоречия. Приведем формулировку закона противоречия, данную Кондаковым: «Две противоположные мысли об одном и том же предмете, взятом в одно и то же вре­мя и в одном и том же отношении, сразу вместе не могут быть истинными»^[113]. Возникает вопрос’ в чем же различие этих двух законов’ В том ли. что закон противоречия запрещает одновре­менно считать истинными два противоположных суждения, а за­кон исключенного третьего — два противоречащих суждения? Но ведь противоречивость есть вид противоположности, а закон противоречия распространяется как н апротивную противопо­ложность, так и на противоречащую противоположность. Таким

образом, в формулировке закона исключенного третьего, данной Н. И. Кондаковым, имеет место' смешение логического смысла двух законов: закона противоречия и закона исключенного третьего. Такое смешение смысла двух законов имеется не только в формулировке, но и в дальнейших разъяснениях. Вот что пи­шет Кондаков: «Руководствуясь этим законом (законом исклю­ченного третьего. — М. Б.) из ложности данного высказывания мы заключаем об истинности противоречащего высказывания и, наоборот, из истинности, данного высказывания мы делаем выводы о том, что противоречащее ложно...»¹ (разрядка наша. — М. Б.). Из ложности одного противоречащего суждения мы заключаем об истинности друго­го, действительно руководствуясь законом исключенного треть­его. Но когда мы из истинности одного противоречащего сужде- ния заключаем о ложности другого, то мы руководствуемся не законом исключенного третьего, а законом противоре­чия, так как именно закон противоречия говорит о том, что два противоположных суждения одновременно не могут быть истин­ными, и тем самым дает право при установлении истинности од- ного из них утверждать, что второе ложно.

Формулировка, данная A. C Ахмановым, в основном пра­вильно отражает смысл закона исключенного третьего. Но в ней также имеются недостатки: во-первых, здесь определение про­тиворечащих суждений включено в формулировку закона (было бы целесообразнее сначала определить противоречащие сужде­ния, а затем дать формулировку закона) и, во-вторых, в этой формулировке говорится о том, что одно из противоречащих суж­дений (должно быть ложным, а другое истинным» (курсив наш. — М. Б.), т. е. закон формулируется в виде требования, что неверно.

Закон исключенного третьего можно формулировать так:

Два противоречащих суждения одновре­менно не могут быть ложными: одно из них непременно истинно, а третьего не может быть.

Смысл закона исключенного третьего заключается в том, что он запрещает лавировать между противоречащими суждениями, указывая, что из ложности одного противоречащего суждения непременно вытекает истинность другого и что поэтому не мо­жет быть истинным некоторое третье суждение помимо двух про­тиворечащих суждений

Из закона исключенного третьего вытекает следующее тре­бование- нельзя одновременно считать ложными два поотиворе- чащих суждения и признавать истинным некоторое третье суж­дение помимо них. При нарушении этого требования закона

исключенного третьего мышление лишается последовательности и не может отражать действительность верно, адекватно.

Истинность закона исключенного третьего, как и остальных формально логических законов мышления, не следует доказы­вать не потому, что он «априорен» или порожден мышлением, как это утверждают идеалисты, а потому, что он имеет аксио­матический характер, он уже- доказан миллиардным повторе­нием одного и того же свойства вещей и явлений реальной дей­ствительности в процессе многовековой практики человека. Прак­тика мышления показала, что всякий раз, когда делается попыт­ка утверждать нечто третье помимо двух противоречащих сужде­ний, мышление лишается последовательности и поэтому достиже­ние истины, адекватное отражение действительности становится невозможным.

Закрн исключенного третьего применяется ко всем противо­речащим суждениям. Если установлено, что данные два суж­дения являются противоречащими суждениями, и если соблюде­ны условия действия закона исключенного третьего, то в та­ком случае закон исключенного третьего применяется непре­менно.

Каждый закон действует при наличии определенных ус­ловий. Это касается и закона исключенного третьего Из усло­вий применения закона исключенного третьего укажем на сле­дующие:

1. Предикат противоречащих суждений должен отражать та­кой признак, предположение которого у предмета данного класса не является невозможным. При отсутствии этого условия полу­чаются бессмысленные суждения, из которых ни одно и ни дру­гое не могут считаться ни истинным, ни ложным. Примерами та­ких суждений являются суждения, приведенные Гегелем (дух сладок или несладок, дух зелен или незелен). Эти суждения Гегель приводил в качестве аргументов против истинности зако­на исключенного третьего. Но на самом деле к таким суждє-, ниям закон исключенного третьего не применяется не потому/ что он ложен, а потому, что здесь отсутствует условие действия закона исключенного третьего, т. е. в данных суждениях субъ­екту приписывается или у субъекта отрицается такой признак, предположение которого у предметов данного класса является невозможным

2 Существенным условием применения закона исключенно­го третьего является соблюдение требований остальных законов формальной логики. Если нарушается требование одного из за­конов формальной логики, то становится невозможным приме­нение закона исключенного третьего Так, напримео, при нару­шении требования закона тождества невозможно применить за­кон исключенного третьего. Возьмем для примера противореча­щие суждения:

Все иранцы — магометане.

Некоторые иранцы не магометане.

Чтобы эти суждения не оказались одновременно ложными, т. е. чтобы относительно их действовал закон исключенного третьего, необходимо прежде всего соблюсти требование закона тождества, т. е. понятие «иранцы» в обоих суждениях мыслить в одном и том же смысле. Если же в первом суждении понятие «иранцы» употребляется в смысле «жители Ирана», а во втором суждении—в смысле «персы», или «представители персидской нации», то оказываются ложными оба суждения, т. е. нарушает­ся требование закона исключенного третьего. Таким образом, нарушение требования закона тождеству делает невозможным применение закона исключенного третьего. Если нарушается требование закона противоречия, то становится невозможным применение и закона исключенного третьего. В самом деле, что­бы одно из противоречащих суждений оказалось ложным, а другое — истинным, необходимо, чтобы прежде всего оба они не были истинными. Точно так же, если у нас нет достаточного основания для того, чтобы доказать ложность одного из проти­воречащих суждений, то становится невозможным применение закона исключенного третьего. Известно, что в основе косвенно­го доказательства лежит закон исключенного третьего. Только руководствуясь законом исключенного третьего, мы из ложности антитезиса выводим истинность тезиса. Но ложность антитезиса следует доказать до того, как будет сделан вывод об истинности тезиса. А доказать ложность антитезиса — значит привести до­статочные основания, из которых вытекает ложность антитези­са. Если же ложность антитезиса не обоснована, мы не можем судить об истинности тезиса, т. е. применить закон исключен­ного третьего.

Так как из всех законов формальной логики особенно тесно связаны закон противоречия и закон исключенного третьего и так как эта связь служила поводом смешения этих двух законов в истории логической мысли, то необходимо рассмотреть во­прос о сотношении этих двух законов.

Тесная связь между законами противоречия и исключенного третьего выражается в том, что закон исключенного третьего в некотором смысле дополняет закон противоречия Закон противо­речия говорит, что два противоречащих суждения одновременно не могут быть истинными, но он ничего не говорит о том, могут ли они одновременно быть ложными или нет. Об этом говорит закон исключенного третьего. Таким образом, оба закона отра­жают отношения между противоречащими суждениями. Но между ними есть существенное различие. Закон исключенного третьего и закон противоречия отличаются друг от друга, во- первых, тем, что закон противоречия распространяется на все противоположные суждения (противоречащие и противные), а 66

закон исключенного третьего — только на противоречащие суж­дения, и, во-вторых, если мы оставим в стороне противные суж­дения, то оба закона отражают разные отношения между про­тиворечащими суждениями.

Закон противоречия отражает то, что противоречащие суж­дения не могут совмещаться, одновременно быть истинными. Он запрещает логическое противоречие в мышлении. Закон исклю­ченного третьего отражает другое свойство противоречащих суж­дений, а именно, то свойство, что два противоречащих суждения одновременно не могут быть ложными, что из ложности одного противоречащего суждения вытекает истинность другого сужде­ния и что поэтому истина непременно заключается в одном и только в одном из них, и ни в коем случае она не может заклю­чаться в некотором третьем суждении. Эти два закона, отражая разные отношения между противоречащими суждениями, в то же время обусловливают друг друга, как было показано выше.

Закон исключенного третьего требует быть последоватзльным в мышлении, давать ясные, точные ответы на поставленные во­просы, выбирать одно из противоречащих суждений, так как одно из них непременно является истинным.

Классики марксизма-ленинизма неоднократно указывали, что необходимо давать прямые ответы на поставленные вопросы, не колеблясь между исключающими друг друга взглядами, и не раз разоблачали оппортунистов за неуловимость, расплывчатость их рассуждений. Оппортунизм характеризуется именно тем, что о» уклоняется от ясных решительных ответов. В. И. Ленин, имея в виду эту черту оппортунизма, не раз сравнивал оппортуни­стов с ужом: «Когда говорится о борьбе с оппортунизмом, не следует никогда забывать характерной черты всего современно­го оппортунизма во всех и всяческих областях: его неопределен­ности, расплывчатости, неуловимости. Оппортунист, по самой своей природе, уклоняется зсегда от определенной и бесповорот­ной постановки вопроса, отыскивает равнодействующую, вьется ужом между исключающими одна другую точками зрения, ста­раясь «быть согласным» и с той и с другой, сводя свои разно­гласия к поправочкам, к сомнениям, к благим и невинным поже­ланиям и проч, и проч.» ’.

Закон исключенного третьего имеет большое значение для теории доказательства. На законе исключенного третьего осно­вано косвенное доказательство. Косвенным доказательством пользуются в том случае, когда нет аргументов, прямо доказы­вающих истинность тезиса, но имеются аргументы, которые мо­гут доказать ложность антитезиса (суждения, противоречащего тезису). В таком случае условно принимается, что истинным яв­ляется суждение, противоречащее тезису, и выводятся следст-

^,В И Ленин Соч, т. 7, стр 373

вия вытекающие из антитезиса. Эти следствия оказываются ложными, а это значит, что ложен и антитезис. Антитезис и те­зис являются противоречащими суждениями; из ложности од­ного из них по закону исключенного третьего вытекает истин­ность другого. Если антитезис ложен, то тезис непременно истинен

Закон исключенного третьего широко применяется в юрис­пруденции и в практической юридической деятельности. При рассмотрении того или иного судебного дела требуется решать вопрос категорически: установлен тот или иной факт или нет, преступление совершено или нет.

Закон исключенного третьего находит широкое применение в математике. На нем основаны доказательства «от противного» (точнее было бы их назвать доказательствами «от противореча­щего»), Так как закон исключенного третьего в математике имеет особо важное значение, то следует более подробно разо­брать вопрос о значении его в математике.

В связи с развитием теории множеств в математике возник­ли трудности в обосновании закона исключенного третьего, свя­занные с философской проблемой бесконечности. В философии математики началась острая полемика по поводу вопроса о при­менимости закона исключенного третьего. Представитель ин­туиционизма Брауэр объявил Применение закона исключенного третьего к трансфинитным суждениям «незаконным». Вейль существующее положение констатировал как факт, говорящий о наступающем кризисе основ математики. Он писал, что воз­никшие противоречия необходимо рассмотреть как «симптомы некоторого неблагополучия всей этой науки» (математики. — М. Б.), что в этих противоречиях «выступает именно внутренняя непрочность фундамента», на котором покоится вся постройка»^[114].

Исходя из своих философских предпосылок, интуиционисты предложили устранить из математики закон исключенного тре­тьего Но это создало новые затруднения. Дело в том, что в ма­тематике имеется ряд теорем, которые можно доказать не иначе, как при помощи косвенного доказательства, в основе которого лежит закон исключенного третьего Такой теоремой является, например, теорема Кантора, гласящая: «Множество всех дейст­вительных (рациональных и иррациональных) чисел — несчет­ное». Доказательство этой теоремы ведется так: допускается, что удалось все действительные числа перенумеровать, располагая их в виде последовательности. После этого демонстрируется число, которое никак не может быть числом этой последователь­ности. Отсюда вытекает несостоятельность допущения, что все действительные числа могут быть перенумерованы, т. е. оказы­вается, что суждение, противоречащее теореме, ложно. А по

закону исключенного третьего из ложности одного противореча­щего суждения вытекает истинностьідругого. Таким образом, до­казывается истинность суждения: «множество всех действитель­ных чисел — несчетное». ’

Хотя интуиционисты выдвинули программу удалить из ма­тематики все конструктивные доказательства существования, основанные на законе исключенного третьего, для того, чтобы вывести математику из критического положения, на самом деле это вело не к спасению математики от кризиса, а к разрушению'' ее. Вот что написано в книге «Что такое математика?» по этому поводу: «В недавнее время некоторые математики (из числа имеющих большие заслуги) провозгласили более или менее уст­ранение из математики всех "Неконструктивных доказательств Даже если бы выполнение этой программы признать желатель­ным, необходимо указать, что это повлеко бы за собой в настоя­щую эпоху чрезвычайные усложнения, и можно было бы даже опасаться, что з процессе совершающихся потрясений подверглись бы разрушению существенные части организма математики. По­этому не представляется удивительным, что школа «интуицио- нистов», принявшая упомянутую программу, встретила упорное сопротивление, и что даже наиболее ортодоксальные интуицио­нисты не всегда в состоянии жить согласно своим убеждениям»¹.

Истинность закона исключенного третьего бралась под сом­нение особенно со времени возникновения так называемых ма­тематических парадоксов. Примером такого парадокса является парадокс о множестве всех правильных множеств. Согласно теории множеств, существуют не только множества индивидуаль­ных предметов, но и множества множеств. Таким образом, одно множество в свою очередь может быть элементом другого мно­жества То множество, которое не является элементом самого себя, 'назовем правильным множеством, а множество, которое содержит себя в качестве своего элемента, назовем неправиль­ным множеством. Исходя из этого можно сказать, что всякое множество должно быть или правильным, или неправильным. Чтобы проверить, действительно ли это так, возьмем множество всех правильных множеств и выясним: правильно ли оно или неправильно? Допустим, что множество всех правильных мно­жеств есть правильное множество, т е. не содержит себя в ка­честве элемента Но в таком случае получается, что оно не вхо­дит в число правильных множеств, "^rе является неправильным А если допустим, что данное множество неправильное, то это значит, что оно содержит себя в качестве элемента и поэтому принадлежит к числу правильных Таким образом, в данном слу­чае на поставленный вопрос: является ли множество всех пра­

вильных множеств правильным или неправильным, нельзя отве­тить ни «да», ни «нет». Отсюда интуиционисты делают вывод, что закон исключенного третьего в таких случаях не может по­мочь нам и поэтому-де он неверен. Но действительно ли это так? Нет, конечно В данном случае на поставленный вопрос невозможно ответить ни «да», ни «нет» не потому, что -закон исключенного третьего неверен, а потому, что неверна сама по­становка вопроса. Можно ставить вопрос о правильности или неправильности множества конкретных объектов, и на такой во­прос будет один ответ: или «да», или «нет», но нельзя ставить такого вопроса относительно множества множеств. «Получен­ное противоречие доказывает незаконность распространения на понятие «множество всех правильных множеств» тех логических способов рассуждения, которые выработаны в процессе изуче­ния многочисленных конкретных совокупностей конкретных объ­ектов» ^[115]. Таким образом, интуиционисты «опровергают» закон исключенного третьего, не выяснив, существуют ли условия дей­ствия этого закона или нет? Профессор С. А. Янрвская пишет: «Пользоваться законом исключенного третьего можно лишь пос­ле того, как будет доказана его применимость к данному слу­чаю»^[116] А доказать применимость заклона исключенного третьего к данному случаю — значит установить, что все условия дей­ствия закона исключенного третьего налицо. Но в вышеизложен­ном математическом парадоксе отсутствует существенное усло­вие применения закона исключенного третьего, т. е. соблюдение требований остальных формально-логических законов мышления. В парадоксе о множестве всех правильных множеств нарушено требование закона тождества, т. е. то, что выявлено в процессе изучения многочисленных конкретных множеств, механически распространяется на понятие «множество всех правильных мно­жеств». А при нарушении требования закона тождества стано­вится невозможным применение закона исключенного третьего.

В то время как представители интуиционизма—реакционного субъективно-идеалистического направления буржуазной филосо­фии математики — провозглашают кризис основ математики и пытаются выбросить из математики закон исключенного треть­его, советские математики, руководствуясь единственно правиль­ным, научным методом познания — материалистической диалек­тикой, своими исследованиями доказывают, что нет никакого кризиса основ математики, что трудности, связанные с проб­лемой бесконечности в математике, обусловлены противоречиво­стью бесконечности в самой действительности. «Бесконечность есть противоречие, и она полна противоречий. Противоречием

является уже то, что бесконечность слагается из одних только конечных величин...»^[117].

Советский математик А. Н. Колмогоров в 1925 г. выступил против интуиционизма со статьей «О принципе tertium поп datur». В этой статье А. Н. Колмогоров, не разделяя мнения Брауэра о том, что необходимо отказаться от применения зако­на исключенного третьего, пишет: «Обнаружив незаконность применения принципа tertium non∣ datur к трансфинитным суж­дениям, Брауэр поставил задачу обоснования математики без помощи этого принципа, которую в значительной мере и выпол­нил. Но при. этом выяснилось, что существует ряд математиче­ских предложений, которые не могут быть доказаны без помощи отвергнутого Брауэром принципа tertium non datur»^[118].

Чтобы доказать, что применение закона исключенного треть­его никогда не приводит к противоречию, А. Н. Колмогоров ис­пользует прием, который дает возможность переводить предло­жения классической математики в соответствующие им предло­жения «интуиционистской» математики так, чтобы при этом не нарушилась связь доказательства. Таким образом, предложение, доказуемое классически, превратилось в предложение, дока­зуемое «интуиционистски». Сущность данного приема заключа­ется в том, что вместо каждого суждения, входящего в формули­ровку того или иного вывода, ставится суждение, утверждающее двойное отрицание данного суждения. Двойное отрицание суж­дения А. Н. Колмогоров условно называет «псевдоистинностью» суждения и таким образом рядом с обычной математикой строит новую «псевдоматематику» тйк, что каждой формуле первой со­ответствует формула второй.

Сопоставив оба ряда формул, А. Н. Колмогоров заключает: «Применение принципа tertium non datur никогда не приведет к противоречию. В самом деле, если бы при его помощи была полу­чена ложная формула, то соответствующая формула..псевдома­тематически была бы доказана без его помощи и все же приво­дила бы к противоречию» ^[119].

Советский математик Б. Ю. Пильчак в статье «О роли зако­на исключенного третьего в математике» указывает на те труд­ности, связанные с применением закона исключенного третьего, которые возникают в математике с изучением переменных' ве­личин и решением конструктивных задач.

В связи с изучением переменных величин Б. Ю. Пильчак указывает на следующие трудности: в математике смысл отрица­тельного суждения толкуется по-разному. Так, например, если

имеется суждение S: «Все элементы «х» множества «а» облада­ют свойством Р», то для этого суждения возможны разные про­тивоположности. Под суждением «не-S» можно понимать как. суждение:

51 «Не все элементы «х» множества «а» обладают свойством- Р», так и суждение:

52 «Все элементы «» множества «а» не обладают свойством Р». «В математике очень часто под суждением «не-S» понимается именно суждение S₂>>*, — пишет Б. Ю. Пильчак.

^,Но в таком случае мы имеем не контрадикторную противо­положность суждений, а контрарную, к которой закон исклю­ченного третьего вообще неприменим. Суждения S^[120]₁hS₂, т.e.S «Все элементы «х» множества «а» обладают свойством Р» и S₂ «Все элементы «х» множества «а» не обладают свойством Р» (или: «Ни один элемент «х» множества «а» не обладает свой­ством Р»), являются противными суждениями, а это означает, ’ что они оба истинными ни в коем случае не могут быть, но оба они могут быть ложными. Из истинности одного из этих сужде­ний с необходимостью вытекает ложность другого суждения, но из ложности одного из них не вытекает истинность другого. Если одно из противных суждений ложно, то второе может быть как истинным, так и ложным. Так что в данном случае нет никакого затруднения в применении закона исключенного третьего. К та­ким суждениям закон исключенного третьего не применяется, так как закон этот отражает свойство противоречащих (которое в свою очередь является отражением свойства вещей и явлений реальной действительности), а не противных суждений.

Далее Б Ю Пильчак пишет, что если даже под отрицанием суждения условимся всегда понимать суждение S то и тогда трудности, связанные с законом исключенного третьего, полно­стью не устраняются, так как множество «а», которым мы за­меняем переменную величину, обычно бывает бесконечным. Но с другой стороны, множество «а» рассматривается нами как не- изменяюшееся, данное нам уже в готовом виде, т е. «оно пред­стает перед нами в виде актуальной, а не потенциальной беско­нечности. Предложения же существования в (актуально) беско­нечных областях, как известно, вызывают большие затрудне­ния» ^[121].

Но из факта наличия таких затруднений -наши математики не делают вывода о «кризисе основ математики». Они находят, что трудности эти преодолимы. Вот что пишет Б. Ю. Пильчак в той же статье: «Мы вынуждены поэтому рассматривать закон

исключенного третьего как дополнительную аксиому, постули­рующую, что в математике мы имеем дело только с суждения- ми, п о д ч и н я ю щи м и с я закону исключенного тре­тьего, даже если мы не всегда умеем установить/какое именно из двух суждений S и не-S истинно. При этом имеется в виду, что когда речь пойдет о конкретных приложениях той или иной от­расли математики, мы всегда сумеем выяснить, применима ли в данном случае эта математическая теория или нет, т. е. истин­ны ли в данной конкретной обстановке ее аксиомы (в том числе и закон исключенного третьего) или нет» *.

В связи с применением в математике закона исключенного третьего возникают трудности и при конструктивных построе­ниях. Различие между классическим и конструктивным исчисле­ниями заключается в том, что в классическом исчислении прини­маются одиннадцать аксиом, а в конструктивном исчислении одиннадцатая аксиома, которая является выражением закона исключенного третьего (AVA),не выводима. В конструктивных построениях математические утверждения связываются с реше­нием конструктивных задач. Доказательство математического утверждения означает решение сопоставляемой с ним конструк­тивной задачи. Например, всякая арифметическая теорема су­ществования числа с некоторым свойством связывается с пост­роением числа с данным свойством. Теорема лишь тогда считает­ся доказанной, когда это построение указывается.

Но не из всякого доказательства существования в бесконеч­ной области можно извлечь конструкцию объекта, существова­ние которого утверждается. Так, например, доказательства су­ществования, пользующиеся законом исключенного третьего, большей частью не дают возможности извлечь конструкцию. По­этому при решении конструктивных задач нельзя пользоваться законом исключенного третьего. Но этот факт также не дает основания для устранения из математики закона исключенного третьего. Советские математики находят, что «неприменимость закона исключенного третьего в области конструктивных доказа­тельств не означает неприменимость его в других случаях, но предполагает специальное исследование аппарата исчислений математической логики, не пользующихся этим законом»^[122][123].

Таким образом, советские математики доказывают, что нет никаких оснований для устранения закона исключенного треть­его из математики и что задача заключается в том, чтобы уточ­нить сферу и условия действия этого закона.

Закон исключенного третьего имеет большое значение также при делении понятий. Он лежит в основе одного из видов деле­ния понятий — дихоматии, при котором деление производится по отсутствию или присутствию признака у предмета. Получен­ные вследствие дихотомического деления члены деления являют­ся противоречащими понятиями и исключают друг друга. По­этому при дихотомическом делении обычно не встречаются те ошибки, которые встречаются при обычном делении (сбивчи­вость, слишком широкое или слишком узкое деление). Но дихо­томия имеет тот недостаток, что в нем отрицательный член (не-а) слишком неопределенен. Но тем не менее при раскрытии объема понятий дихотомия имеет большое ориентировочное зна­чение.

Закон исключенного третьего имеет большое значение и в практической деятельности людей. Часто человек стоит перед дилеммой и вынужден бывает сделать выбор между противоре­чащими решениями: сделать это или нет, поступить в данный вуз или не поступить и т. д ? В таких случаях необходимо дать ясные ответы. Подобный подход к делу особенно нео'бходим в решении партийных вопросов. В. И. Ленин в статье «Спорьте о тактике, но давайте ясные лозунги!» указывает, что в спорах о тактике необходимо добиваться полнейшей ясности, что хотя тактические вопросы необходимо обосновать и теорией, и исто­рическими справками, и анализом всей политической ситуации, я т. д., все же «...партия борющегося класса обязана при всех этих спорах не упускать из виду необходимости совершенно ясных, не допускающих двух толкований, ответов на конкретные вопросы нашего политического поведения: да или нет? делать ли нам теперь же, в данный момент, то-то или не делать?» ¹.

Диалектический материализм, указывая на необходимость закона исключенного третьего для !мышления, одновременно под­черкивает его недостаточность по сравнению с законом диалек­тики; единства и борьбы противоположностей.

Ошибка метафизиков в толковании смысла закона исключен* ного третьего заключается в том, что метафизики закон этот считают абсолютным законом мышления, отражающим все зако­номерности противоположностей, не замечают недостаточности, относительного характера закона исключенного третьего. Мета­физическое абсолютизирование закона исключенного третьего ведет к догматизму, к изолированию противоположностей друг от друга, к тому, что все противоположности объявляются застыв* шими, вечными, неизменными.

Марксизм учит, что всякая противоположность абсолютна только в известных границах постольку, поскольку необходимо различить противоположные стороны, представить каждую из них ясно, отчетливо, но он предостерегает от преувеличения этой

абсолютности, так как такое преувеличение ведет к метафизике, к отрицанию единства противоположностей.

Закон исключенного третьего гласит, что два противоречащих суждения противостоят друг другу как истинное и ложное, одно из них непременно истинно, другое ложно. Такое противопостав­ление истины и лжи в известном смысле необходимо, так как оно способствует тому, чтобы различать их, не другом. Но эту противоположность нельзя так как такое абсолютизирование ведет к взгляду о вечности, неизменности истины.

Ф. Энгельс, критикуя Дюринга, который противоположность между истиной и ложью, заблуждение, подобно всем логическим категориям, движущим­ся в полярных противоположностях, имеют абсолютное значе­ние только в пределах чрезвычайно ограниченной области; мы это уже видели, и г. Дюринг знал бы это, если бы был сколько- нибудь знаком с начатками диалектики, с первыми посылками ее, трактующими как раз о недостаточности всех полярных про­тивоположностей. Как только мы станем применять противопо­ложность истины и заблуждения вне границ вышеуказанной узкой области, так эта противоположность сделается относитель­ной (релятивной) и, следовательно, негодной для точного науч­ного способа выражений. А если мы попытаемся применять эту противоположность вне !Пределов указанной области, как абсо­лютную, то мы уже совсем потерпим фиаско: оба полюса проти­воположности превратятся каждый в свою противоположность, г. е истина станет заблуждением, заблуждение — истиной»¹.

Диалектическая логика считает ошибочным как абсолютизи­рование противоположности между истиной и ложью, так и игнорирование этой противоположности в известных пределах. Игнорирование противоположности между истиной и ложью ведет к релятивизму, к софистике, к порочному взгляду о том, что истину и ложь нельзя различить друг от друг^. Закон исклю­ченного третьего направлен именно против такого истины и лжи. ;

Не отрицая правомерности формулы «или—или», ческая логика указывает, что в известных случаях «или—или» необходимо признавать «и—и». Ф. Энгельс, показывая, ,что с каждым днем дает новые факты, статочность абсолютного, пригодного писал. «Для такой стадии развития естествознания, где все раз­личия сливаются в промежуточных ступенях, все противополож­ности переходят друг в друга через посредство промежуточных членов, уже недостаточно старого метафизического метода мыш-

смешивать друг с абсолютизировать, метафизическому

абсолютизировал

писал «Истина и

смешения

диалекти- наряду с формулы

правомерность

развитие естествознания которые доказывают недо- везде и всюду «или—или»,

^lΦ Энгельс Анти-Дюринг, стр 85—86

ления. Диалектика,» которая точно так же не знает hard and fast lines [абсолютно резких разграничительных линий] и безуслов­ного, пригодного повсюду «или—или», которая переводит друг в друга неподвижные метафизические различия, признает в над­лежащих случаях наряду с «или—или» также «как то, так и другое» и опосредствует противоположности, — является един­ственным, в высшей инстанции, методом мышления, соответству­ющим теперешней стадии развития естествознания»

Но с другой стороны, диалектическая логика считает непра­вильным абсолютизирование формулы «и—и», так как такое аб­солютизирование ведет к релятивизму, к софистике, к эклектике.

Признание диалектической логикой в надлежащих случаях наряду с «или—или» правомерности «как того, так и другого», есть отражение в мышлении человека жизненных противоречий и единства противоположностей, существующих в реа'льной дей­ствительности. Эклектики же, абсолютизируя формулу «и—и», не считаются с объективными противоречиями и вносят противо­речия в мышление субъективно.

Закон исключенного третьего имеет определенное отношение и к закону отрицания отрицания. Но соотношение этих двух за­конов в нашей логической и философской литературе не рассмат­ривалось. Когда закон отрицания отрицания рассматривался как один из законов диалектики, формальная логика была объявле­на метафизикой, когда же ввели преподавание логики, закон от­рицания отрицания не рассматривался как закон диалектики.

Закон отрицания отрицания говорит о том, что повторно от­рицая данное положение, мы как бы возвращаемся к нему же на более высокой основе. Это, конечно, нельзя понимать в том смыс­ле, что значение закона отрицания отрицания сводится к тому, чтобы отрицать одно положение, затем отрицать последнее и тем самым прийти к первоначальному положению. Такое понимание закона отрицания отрицания Энгельс поддерг суровой критике: «Однако ясно, что при отрицании отрицания, сводящемся к ребя­ческому занятию —- попеременно ставить а и затем вычеркивать его, или попеременно утверждать о розе, что она есть роза и что она "не есть роза, не обнаружится ничего, кроме глупости того, кто предпринимает подобную скучную процедуру»^[124][125].

Подлинный смысл закона отрицания отрицания заключается в том, что диалектическое отрицание является не голым отрица­нием, а условием развития, и что в процессе этого развития по­вторяются некоторые черты пройденных ступеней на более выс­шей основе.

В. И. Ленин, раскрывая софизм одного из вождей ликвида­торов, показывает, что на деле враги рабочего класса под эклек­

тическими увертками, как под вуалью, стараются спрятать свои вредные взгляды. Вождь ликвидаторов г-н Ф. Д. считает «глу­боко ошибочным» взгляд примиренцев о том, что разногласия среди социал-демократических течений в России ничтожны. Если, по г-ну Ф. Д., этот взгляд примиренцев «глубоко» ошибо­чен», то г-н Ф. Д. должен был признать, что разногласия не ни­чтожны. Но сказать этого прямо он испугался и постарался скрыть свою точку зрения под вуалью. В. И. Ленин, разоблачая такое лицемерное поведение вождя ликвидаторов, писал: «При вашей большой откровенности, г. Ф. Д , маленькие увертки бес­полезны и смешны. Одно из двух; ничтожны разногласия или не ничтожны? Говорите же прямо. Середины тут нет, ибо речь идет именно о том, возможно единство (да, возможно, если разногла­сия ничтожны или малы) или невозможно (нет, невозможно, ■если разногласия не «ничтожны») ^[126].

В данном случае В. И. Ленин разоблачает софизм вождя ликвидаторов, указывая, что в его «рассуждении» нарушено элементарное требование последовательности. Если г-н Ф. Д. не согласен с тем, что разногласия ничтожны, то он должен непре­менно согласиться с тем, что разногласия не ничтожны, ибо истина заключается в одном из них. Но г-н Ф. Д. не соглашается ни с тем, ни с другим, т. е. нарушает требование закона исклю­ченного третьего, так как последовательность не в пользу ликви­даторов.

Таким образом, закон исключенного третьего, если он пра­вильно понят, не противоречит закону диалектики единства и борьбы противоположностей. А правильное истолкование смысла закона исключенного третьего возможно только с позиций диа­лектического материализма.

Закон исключенного третьего исходит из противопоставления утверждения и отрицания и гласит, что между ними не может быть третьего^ Из закона исключенного третьего вытекает след­ствие: отрицание отрицания = утверждению, или двойное отри­цание = утверждению. Это следствие закона исключенного третьего лежит в основе, косвенных доказательств. Косвенным путем доказывается, например, теорема о том, что в треуголь­нике против равных углов лежат равные стороны. Требуется доказать, что в треугольнике ABC сторона AB=-стороне ВС. Для этого допускается, что AB = ВС, т. е отрицается первое положение. Но следствие такого допущения оказывается в про­тиворечии с ранее доказанными теоремами и условием данной теоремы. Поэтому оно считается ложным, т. е. отрицается отри­цание Из ложности положения AB = BC с необходимостью вытекает истинность противоречащего суждения AB = BC Таким образом, второе отрицание возвращает нас к исходному поло­

жению. Но суждение AB = ВС, полученное нами в результате косвенного доказательства тем отличается от первоначального суждения, что второе суждение доказано. Поэтому отрицание суждения, что второе суждение доказано. Поэтому отрицание отрицания = не просто утверждению данного положения, а до­казанному утверждению его. Но двойное отрицание как след­ствие закона исключенного третьего нельзя отождествлять с законом отрицания отрицания. Закон отрицания отрицания, будучи более глубоким, диалектическим законом мышления, отражает все стороны отрицания, показывает, что повторное отрицание является как-бы возвратом к исходному положению, что в процессе восходящего развития на высших ступенях раз­вития сохраняются положительные моменты пройденных сту­пеней.

54

¹Ф Энгельс. Анти-Дюринг Госполитиздат, 1957, стр. ЗП.

⁴Бобров Логика Аристотеля, 1906, стр 48.

¹В. И. Ленин. Соч., т. 23, стр. 29.

²TaM же, стр 452

²H И. Кондаков. Логика, стр. 68.

еа

¹Г. Вейль О философии математики (сборник работ)', 1934, стр. 92.

²B Ю Пильчак Об исчислении задач «Украинский математический журнал», 1952, № 2, т 4, стр. 174.