Логически истинные, ложные и нейтральные формулы

Все формулы ЛВ делятся на два взаимно исключающих и совместно исчерпывающих класса - выполнимые и невыполнимые. Выполнимые формулы подразделяются на логически истинные и логически нейтраль­ные.

Формула ЛВ считается выполнимой, если существует хотя бы одна интерпретация (набор значений истинности атомарных формул), в кото­рой она истинна, и невыполнимой в противном случае.

Формула называется логически истинной, если она истинна во всех своих интерпретациях, т.е. при любых наборах значений истинности сво­их атомарных формул. Такие формулы также часто называют тавтоло­гиями, законами логики, логическими истинами, общезначимыми, тож­дественно истинными. Вероятность логической истины всегда равна единице, т.е. представляет константу. Логические истины максимально достоверны, но сообщают нулевую величину семантической информации. Истины вида «Сегодня понедельник или не понедельник» максимально достоверны, но обладают нулевой информативностью: из анализа такого сообщения нельзя узнать, какой сегодня на самом деле день недели. Все тавтологии сводимы к видугде на место ф может подставляться

любая формула ЛВ.

Тавтологией является формулаЕе таблица

истинности имеет следующий вид.

Восьмой, заключительный столбец таблицы содержит только значе­ние «истина». Значит, какими бы ни были интерпретации, или значения истинности атомарных формул всегда истинна.

Формула называется логически ложной (невыполнимой, противоре­чивой, тождественно ложной), если не существует ни одной интерпре­тации, т.е.

может подставляться любая формула ЛВ.

Седьмой, заключительный столбец таблицы содержит только значе­ние «ложь». Значит, какими бы ни были интерпретации, или значения истинности атомарных формул А и В, всегда ложна.

Формула называется логически нейтральной, если существует хотя бы одна интерпретация, в которой она истинна, и хотя бы одна интерпре­тация, в которой она ложна. Это означает, что такие формулы не могут быть логически истинными и логически ложными. Они лишь относитель­но истинны и относительно ложны. Значение их вероятности является переменной величиной, колеблющейся между нулем и единицей, никогда не достигая указанных пределов. Так как логически нейтральные фор­мулы способны изменять свою вероятность, то их правильнее называть правдоподобными.

Логически нейтральной является формула таблица истинности имеет следующий вид.

Шестой, заключительный столбец таблицы содержит как значение «истина», так и значение «ложь». Значит, формула

не является логически истинной и логически ложной.

Алфавит логики высказываний включает шесть логических союзов. Закономерен вопрос об их достаточности для формализации любых ут­верждений естественного языка. Следующая теорема доказывает, что для этих целей на самом деле достаточно всего лишь трех из них, а именно знаков отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

Теорема 1.Функция истинности любой формулы ЛВ выразима в тер­минах логических союзови логических констант Т (истина) и F

(ложь).

Доказательство. Пусть ф - формула ЛВ, представляющая собой не­которую функцию истинности атомарных формул А и В. Согласно опре­делению, формула ф выполнима или невыполнима. Рассмотрим сначала последнюю возможность.

Если формула ф невыполнима (логически ложна), тогда в последнем столбце ее таблицы истинности содержатся только значения «ложь». Зна­чит, она определяет функцию, согласно которой обе атомарные формулы А и В одновременно противоречивы -

Если формула ф выполнима, тогда в последнем столбце ее таблицы истинности содержится хотя бы одно значение «истина». Значит, формула ф определяет функцию, согласно которой она эквивалентна дизъюнкции некоторых или всех строк таблицы истинности со значением «истина»

Объединяя оба случая, получаем, что независимо от того, выполнима произвольная формула ф или невыполнима, ее функция истинности вы­разима только в терминах знаков отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. QED (от лат. quod erat demonstrandum- что и требовалось доказать).

6.5.