Истина, ложь и правдоподобие

Понятия истины, лжи и правдоподобия - одни из самых важных в логике и часто употребляемых в логической литературе. В связи с тем что они играют особую роль в пособии, в настоящем подразделе приведено их точное определение вместе с необходимыми комментариями.

В данном пособии термины «истина», «ложь» и «правдоподобие» употребляются в двух основных смыслах в зависимости от легко разли­чаемого контекста:

1) как истинностные значения (валентности) суждений;

2) как обозначения классов истинных, правдоподобных и ложных суждений и их отдельных элементов.

В первом смысле с помощью выражений «суждение истинно», «суж­дение правдоподобно», «суждение ложно» определяются истинностные значения суждений. Во втором смысле термины «истина», «правдоподо­бие» и «ложь» обозначают классы в соответствии со всеми истинными, правдоподобными и ложными суждениями, а также их отдельными эле­ментами.

С формальной точки зрения все истины делятся на два класса - логи­ческие истины, называемые иногда тавтологиями (от греч. tautδ- то же самое и lδgos- слово), и нелогичес­кие (фактические, теоретические) истины (рис. 1.2).

Все нелогические истинные суждения истинны лишь при опре­деленных условиях; все логически истинные истины истинны при лю­бых условиях. Пример логической истины: «Сегодня понедельник или не понедельник»; пример нелогической истины: «Сегодня понедельник». Первое суждение логически истинно, потому что истинно во все дни не­дели. Второе суждение нелогически истинно, потому что истинно только по понедельникам. Вероятность логических истин всегда равна единице; их (семантическая) информативность - нулю. Иными словами, тавтоло­гии ничего не сообщают такого, что бы не выполнялось, что не было всем известно, но зато они максимально вероятны.

Класс всех ложных суждений также делится на два вида - логически ложные суждения, называемые также логическими противоречиями, и нелогически (фактически, теоретически) ложные суждения (рис.

Рис. 1.3. Виды ложных суждений

Все нелогически ложные суж­дения ложны лишь при определен­ных условиях; логически ложные суждения ложны при любых усло­виях. Пример логической лжи: «Се­годня понедельник и не понедель­ник»; пример нелогической лжи: «Сегодня понедельник». Первое суждение логически ложно, потому что противоречиво и ложно в каж­дый день недели. Второе суждениенелогически ложно, потому что ложно во все дни недели, кроме поне­дельника. Вероятность логически ложных суждений всегда равна нулю, их семантическая информативность, по определению, - бесконечности. Другими словами, логически ложные суждения никогда не выполняются, но зато сообщают бесконечно много информации. Все газетные сенса­ции, как правило, очень информативны, но вероятность их либо равна нулю, либо приближается к этому значению.

Нелогически истинные и лож­ные суждения вместе составляют класс правдоподобных суждений (рис. 1.4).

Важным свойством правдопо­добных суждений является то, что в зависимости от меняющихся ус­ловий, свидетельств и тому подоб­ного они могут увеличивать или уменьшать степень своего правдо­подобия, приближаясь сколь угодно близко, правда, никогда не достигаясвоих предельных значений - логических истины и лжи. Способность правдоподобных суждений изменять свою степень правдоподобия при­нципиально отличает их от логических истины и лжи, которые никогда не меняют своих истинностных значений. Если бы не было правдоподобных суждений, не был бы возможен анализ динамики научного знания, его прогресса, приближения к истине.

Рис. 1.5. Соотношение классов истинных, правдоподобных

и ложных суждений

На рис. 1.5 указано соотношение классов истинных, правдоподоб­ных и ложных суждений.

Логическая ложь - наименьший класс, так как нет ни одной вещи, ко­торая удовлетворяла бы ее требования. Логическая истина - наибольший (универсальный) класс, так как любые вещи отвечают ее условиям.

Логическая истина - необходимое следствие самой себя, правдопо­добного и логически ложного суждения. Обратные следования неверны. Правдоподобное суждение - необходимое следствие самого себя и логи­чески ложного суждения. Обратные следования также неверны. Логичес­ки ложное суждение - достаточное, но не необходимое следствие только самого себя.

Дополнительные свойства истины, лжи и правдоподобия, которые можно вывести из их следования друг из друга и из самих себя, приведе­ны в табл. 1.3.

Истина и правдоподобие рефлексивны, потому что являются своими собственными следствиями. Ложь таким свойством не обладает, так как из нее может следовать что угодно - истина, правдоподобие или ложь.

Истина и правдоподобие симметричны, так как если некоторое от­ношение истинно или правдоподобно, то обратное ему отношение также обладает свойством истинности или правдоподобия. Ложь не симметрич­на по той же причине, по какой она не рефлексивна.

Истина и правдоподобие транзитивны, так как следствия истинных и правдоподобных посылок сохраняют соответственно истину и правдопо­добие посылок. Ложь не транзитивна по той же причине, по какой она не рефлексивна и не симметрична.

Таблица 1.3

Свойства истины, лжи и правдоподобия

Добавление к суждению характеристики «истинно» не меняет значе­ния истинности суждений. Например, суждение «Истинно, что мысль А истинная» эквивалентно суждению «Мысль А истинная», суждение «Ис­тинно, что мысль А правдоподобная» эквивалентно суждению «Мысль А правдоподобная», суждение «Истинно, что мысль А ложная» эквивалент­но суждению «Мысль А ложная».

Добавление терминов «правдоподобно» и «ложно» меняет значение только истинных и ложных суждений. Суждение «Правдоподобно (лож­но), что мысль А истинна» эквивалентна суждению «Мысль А правдо­подобная (ложная)». Суждение «Правдоподобно (ложно), что мысль А ложная» эквивалентна суждению «Мысль А правдоподобная (истин­ная)». В остальных случаях значение истинности остается прежним.

Как известно, отношения, выполняющие свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, образуют эквивалентные классы - не- пересекающиеся множества объектов с выделенными свойствами, прису­щими одному и только одному классу. Например, если множество людей разбить на подмножества людей, родившихся в один и тот же год, каждое полученное таким образом подмножество будет представлять один экви­валентный класс. Элементы эквивалентных классов принадлежат только своим классам и никаким другим^[17].

Главное свойство эквивалентных классов заключается в том, что над их элементами можно производить операции, которые никогда не выво­дят за пределы данных классов. Например, сложение, умножение и вы­читание, определенные на множестве целых четных чисел порождает только целые четные числа. Но добавление к ним операции деления при­водит к появлению дробных чисел. Значит, данная операция не сохраня­

ет выделенные свойства эквивалентности - четность и цельность чисел. Следовательно, если операции сохраняют свойство эквивалентности, они непременно обладают свойством сохранения истины (правдоподобия) от­носительно данного эквивалентного класса.

Истина и правдоподобие образуют эквивалентные классы в указан­ном смысле, но ложь нет. Логические операции с истинными (правдо­подобными) суждениями порождают только истинные (правдоподобные) суждения. Логические операции с ложными суждениями таким свойством сохранения не обладают. Причина ограниченности в том, что ложное вы­сказывание и референт (причина) его ложности принадлежат к разным, и значит, несовместимым эквивалентным классам.

На основе вышеизложенного сформулируем основные определения истины, правдоподобия и лжи.

Суждение (логически и нелогически) истинно, если и только если из него нельзя вывести ложь.

Суждение (логически и нелогически) ложно, если и только если из него выводима ложь.

Суждение правдоподобно, если и только если оно не истинно и не ложно логически

Если сегодня понедельник, тогда суждение «Сегодня понедельник» и все его необходимые следствия - «Вчера было воскресенье», «Завтра будет вторник» и так далее также истинны. Как члены одного эквивален­тного класса эти суждения и бесконечное число других эквивалентных следствий обладают одним выделенным свойством - быть истинными и поэтому они не могут противоречить друг другу. Это оправдывает опре­деление нелогической истины.

Если сегодня понедельник, тогда суждение «Сегодня вторник» лож­но. Наличия одного ложного следствия, например «Завтра будет среда», среди класса всех следствий суждения достаточно, чтобы признать его ложным. Это оправдывает определение нелогической ложности.

Для иллюстрации способности правдоподобных суждений изменять свою степень правдоподобия рассмотрим следующий пример. Допус­тим, вероятность выпадения герба неизвестна и имеются две гипотезы о точном значении - Н_1/2 и Н_3/4 (вероятности выпадения герба равны ½ и ¾ соответственно). Допустим, до начала бросания монеты обе гипотезы a prioriравновероятны. Выпадение в первом же бросании монеты герба изменяет правдоподобия следующим образом. Правдоподобие гипотезы

Н_1/2 уменьшается до 0,4; правдоподобие гипотезы Н_3/4 увеличивается до 0,6. При четырехкратном выпадении герба в четырех бросаниях правдо­подобие гипотезы Н уменьшается до 0,17; правдоподобие гипотезы Н_3/4 увеличивается до 0,83.

Теперь допустим, значение вероятности выпадения герба точно из­вестно и равно некоторой величине х. В этом случае гипотеза Н_х пре­вращается в достоверное утверждение, так как правдоподобие всех про­тивоположных ему утверждений равно нулю. Тогда, каким бы ни было конкретное значение х, вероятность гипотезы Н_х останется константой при любом соотношении выпавших гербов и цифр.

Таким образом, познавательная ценность правдоподобных суждений заключается также в том, что они позволяют учиться на опыте и исследо­вать ситуации, решающими характеристиками которых выступают раз­ного рода неопределенности.

1.4.