Терминологические и методологические проблемы

Само название раздела 2.3 подразумевает, что мы попытаемся исследовать место открытия несоизмеримости вне контекста истории математики в узком смысле.

В научной литературе можно встретить вывод о том, что у ранних пифагорейцев не было настоящей математики до Архита.^[326]Учитывая, что самого Архита не во всех случаях считают пифагорейцем^[327], содержание

понятия «раннепифагорейская математика» рискует оказаться пустым.

В рамках данного диссертационного исследования нас не интересует вопрос о том, насколько деятельность пифагорейцев V в. можно считать математикой (геометрией или арифметикой в современном смысле): как мы уже отмечали, приписывать мыслителям V в. владение концептами из дисциплин последующих периодов не приведет к достоверным выводам. Надеемся, что в разделе 2.1 нам удалось показать, что еще Аристотель сталкивался с такой проблемой.

Даже самые скептически настроенные авторы не отрицают того факта, что «настоящая математика» Архита не могла появиться «из ниоткуда», что означает предшествующее развитие некой деятельности, которая в итоге стала частью «истории математики». На основании этого факта мы делаем другое методологическое замечание: не стоит считать, что все до- математические активности создавались с целью обоснования некой уважаемой и возвышающейся над всеми остальными области, будь то математика или точные науки. В противном случае это бы означало именно то, что имел в виду Хайдеггер, говоря, что мы «твердо стоим на своем краю».

К примеру, Эврит на вряд ли ставил перед собой цель сделать свои идеи фундаментом современной арифметики, а затем получить от Барнса оценку своих поступков как «грубой аналогии грандиозного научного задания».^[328]Похожая ловушка таится и в безобидном на первый взгляд распределении ролей: как отмечалось, Жмудь обращает внимание и на то, что именно Эврит и Экфант, ранние пифагорейцы, «как раз ничем не проявившие себя в математике», посредством своих «арифмологических спекуляций» обнаруживают «явный интерес к этому предмету».^[329]Это утверждение

имплицирует, (а) что у тех, кто «проявил интерес к предмету» (например, Гиппас или Феодор), предмет уже был задан и (б) что такой предмет не пересекается с другими, например, с предметом философии Филолая.

Мы попробуем найти самую достоверную реконструкцию открытия несоизмеримости среди существующих; установить, какие мыслительные достижения оказались необходимы для того, чтобы она появилась (вне зависимости от места этого достижения в истории математики), а затем попробовать сравнить его с остальными уже описанными нами мыслительными феноменами, имеющими непосредственное отношение к раннему пифагореизму V в.

Научная литература по теме пифагорейской математики довольно объемная, зачастую сложна для понимания и преимущественно написана языком современной математики. На наш взгляд, эта литература плохо справляется (впрочем, она не видит необходимости справляться) с чрезмерным употреблением переменных и легкостью генерализаций. Как говорил Мордухай-Болтовский по поводу конкретного вопроса, связанного с

оперированием отношениями как числами (что неминуемо проистекает из самого акта потребления современной алгебраической символики), современная символика ощутимо мешает проникновению в мысли Эвклида, навязывая ему «числовую» природу отношения, которой у него не было.^[331]Если это верно для случая Эвклида, что же тогда говорить об изложении пифагорейской математики и гармоники V в.?

Вот почему задача изложения «математической» части раннепифагорейской активности на языке, описанном в разделе 1.4, в котором отсутствуют современные концепты, будет, пожалуй, самой сложной из всех поставленных нами в данной диссертации.

С другой стороны, в этом есть и положительный момент. Как уже говорилось в первой главе, та деятельность ранних пифагорейцев, которая в итоге стала частью того, что сегодня называется историей математики, позволяет с большей смелостью решится на реконструкции, чем, к примеру, то позволяют космологические спекуляции, для которых, как предостерегал Буркерт, не существует «закона обратной интеракции в области мысли».^[332]

Итак, несмотря на отсутствие письменных источников о том, как именно ранние пифагорейцы (или кто-либо другой) обнаружили (либо продемонстрировали) факт существования несоизмеримых величин, можно с большой долей достоверности описать, как это могло случиться, и проанализировать, какое из описаний наиболее соответствует опосредованным описаниям, к которым у нас есть доступ, как и преимущественно достоверным знаниям о характере математических (или доматематических) знаний того периода в целом.

Связывание открытия («доказательства»)^[333] «иррациональности» или

«несоизмеримости» с пифагорейцами или самим Пифагором сегодня сделает, пожалуй, каждый школьник. О присутствии этой связи положительно говорят практически все античные источники, от Платона через Прокла и Ямвлиха до Паппа.^{333 [334]}Авторитетные исследования по истории математики датируют это открытие самыми разными периодами V в. или даже концом VI в., т. е. приписывают его Гиппасу или, что реже, самому Пифагору.^[335]

По словам Норра, автора самого объемного труда несоизмеримости в древнегреческой математике [Knorr 1975], реконструкция открытия опирается на Никомаха, Феона Смирнского, Ямвлиха, комментарии на Эвклида, написанные Проклом, ряд релевантных досократических фрагментов и комментарии Платона и Аристотеля.^[336]Обычно все они прочитываются на фоне «Начал» Эвклида (конец IV в.); структура «Начал» позволяет нам реконструировать источники многих идей, так как именно в этом труде обнаруживаются теоремы из разных исторических периодов греческой математики.

Что же значит «несоизмеримость», что с чем несоизмеримо? Греческое слово «асимметрия» — άσυμμετρία (прилагательное ασύμμετρος) — дословно переводится как «не-со-измеримость».

Если для двух [заданных] неравных величин при постоянном попеременном вычитании меньшей из большей остающееся никогда не будет измерять своего предшествующего, то величины будут несоизмеримыми (άσύμμετρα).^[337]

Это предложение связано с определением 1:

Соизмеримыми величинами называются измеряемые одной и той же мерой, несоизмеримыми же — для которых общая мера не может быть образована.^[338][339]

Главный термин для предложения X.2 — «άνθυφαιρουμένου». Согласно Мордухай-Болтовскому, «так как αντί значит “против, напротив”, то операцию άντυφαίρεσις следует мыслить как попеременное вычитание второй из остатка первой, затем остатка первой из второй, остатка второй из остатка первой, причем мыслятся два ряда величин, в заглавии которых стоят обе заданные первоначально величины, а под каждой из них соответственно

339полученные вычитанием их остатки».

Как видно, эта техника совпадает с описанными в подразделе 2.2.5 реконструкциями Таннери и Беккера об определении в V в. числового отношения в консонансах. Поэтому трудно представить, что техника из «Начал» могла отличаться от той, которую применяли в V или даже в VI в.

Херц-Фишлер напоминает^[340], что современный термин «иррациональное число» недопустимо путать с идеей несоизмеримого сегмента линии (предложение Х.13^[341]); несоизмеримому сегменту не соответствует никакое «иррациональное число». Из обсуждения фрагмента 6 Филолая (подраздел 2.1.1) следует, что даже дроби в V в. не связывали с числом (даже сам Эвклид не рассматривал их в качестве чисел).

Определение Х.3 показывает, как нужно понимать связь терминов «несоизмеримый», «рациональный» (ρητή — «высказываемый) и «иррациональный» (άλογος — «а-логичный»):

[...] для заданной прямой существует бесконечное количество прямых как соизмеримых (σύμμετροί), так и несоизмеримых (ασύμμετροι), некоторые только линейно, другие же и в степени (αί δυνάμει).

Разумеется, это терминология математики высокого уровня развития, и сам язык определения 3 демонстрирует значительную степень формализации. Мы привели этот пассаж, так как он наглядно демонстрирует требование исследовательской осторожности. Одно дело — показывать на одном примере, что две конкретные величины (линии) несоизмеримы; совсем другое — обозначить некую линию как άλογος; третье — сказать, что таких «алогичных» линий много; четвертое — поставить себе задачу найти закономерность в связи с «алогичным»... Все это очень разные вещи, — и нам только предстоит углубиться в свидетельства о них и разобраться, какие из

них случились в V в.

В качестве классического описания открытия несоизмеримости можно позаимствовать пример у Жмудя: «Поскольку Феодор доказал иррациональность величин от √3 до √17, то к Гиппасу обычно относят открытие иррациональности √2, классический пример которой — несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной».^[343]Когда мы подобным образом описываем события V в., не стоит забывать, что «открытие иррациональности √2>>может означать любую из вышеперечисленных ступеней понимания. Более того, символ «\2» подразумевает настолько высокую степень формализации и связи между арифметикой и геометрией, что это далеко отстоит не только от прото-математических практик V в., но даже и от Эвклида. Если прибавить современную символику, характерную для книг по истории греческой математики, будет понятно, насколько легко это может ввести в заблуждение даже самого внимательного исследователя, который начнет приписывать древнему мыслителю формализованные утверждения, которых у него не было и быть не могло.

Целью данной диссертации не является анализ результатов исследований многих поколений историков математики, которые по большей части уже подытожил сам Норр. Мы будем ссылаться на то, по поводу чего достигнут более или менее очевидный консенсус, и только на те аспекты открытий, которые непосредственно связаны с темой нашего исследования.

2.3.2.