Первое открытие: квадрат или пентаграмма?

Открытие существования несоизмеримых величин и формализация их словесного описания происходили в несколько этапов. Широко известные свидетельства, которые можно найти, пожалуй, в любой популярной или учебной книге по истории философии, ссылаются на утверждения Ямвлиха, Клемента и Паппа^[344].

«иррациональность», получившая доказательство, это √2, то медиумом открытия считается квадрат. Однако одно из известных поздних свидетельств говорит о том, что Гиппас пострадал, раскрыв конструкцию, с помощью которой додекаэдр вписывается в сферу. Поэтому, несмотря на то, что квадрат проще пятиугольника, возникает вопрос: какое из этих двух доказательств старше — о несоизмеримости стороны и диагонали у квадрата или у пятиугольника?^[345]Нижеследующий отрывок из Ямвлиха, доказывает правомерность такой постановки вопроса:

О Гиппасе говорят, что он был из числа пифагорейцев; за то, что разгласил и построил (γράψασθαι) впервые сферу из двенадцати пятиугольников(σφαίρα τήν έκ των δώδεκα πενταγώνων), он погиб в море как нечестивец, зато снискал славу первооткрывателя. [...] После разглашения математические науки приумножились, в особенности их продвинули вперед двое: Феодор из Кирены и Гиппократ из Хиоса.^[346]

В другом месте Ямвлих пишет:

Как сообщают, к тому, кто первым открыл недостойным посвящения в учения природу соизмеримости и несоизмеримости, [пифагорейцы] прониклись такой ненавистью и отвращением, что не только изгнали его из своего общества и общежития, но и соорудили ему гробницу в знак того, что они считают своего бывшего товарища ушедшим из жизни.

Обращает на себя внимание последнее предложение, связывающее вписывание додекаэдра (правильного полиэдра, состоявшего из двенадцати пятиугольников) в сферу с открытием несоизмеримости.

Итак, для начала разберемся с додекаэдром. Могла ли такая сложная конструкция существовать столь рано? Дискуссия на эту тему ведется с точки зрения поздней позиции, сформированной, когда уже стало известно, что додекаэдр — это один из пяти правильных полиэдров, и, пожалуй, самый сложный из всех них (за исключением разве что икосаэдра).

Как пишет Уотерхауз в работе, посвященной этой проблематике,^{347 [348]}история правильных полиэдров едва ли постоянно ссылается на схолию к Эвклиду, которая гласит:

В этой, т. е. 13-й книге, описываются так называемые 5 платоновских фигур, которые, однако, Платону не принадлежат. Три из упомянутых фигур — куб, пирамида и додекаэдр — принадлежат пифагорейцам, а октаэдр и икосаэдр — Теэтету. По имени Платона они были названы потому, что он упоминает о них в «Тимее».^[349]

«Суда» говорит, что первым, кто сконструировал т. н. «пять фигур», был Теэтет.^[350]Одна из причин, по которой можно доверять «Суде», состоит в том, что ее текст расходится с распространенной в то время практикой приписывать все подряд Пифагору.

Уотерхауз отмечает то, что сразу бросается в глаза в тексте этих свидетельств: ранняя датировка додекаэдра вызывает сомнения, особенно потому, что икосаэдр, по его мнению, понять значительно проще.

Однако, как уже отметили, правильные полиэдры как таковые — находка постпифагорейского периода. Как справедливо заключает Жмудь, Гиппас занимался не теорией правильных тел как таковой, а именно додекаэдром. Теэтет же, поставив вопрос о том, какие из правильных тел вообще можно построить, вскоре открыл октаэдр.^[352]Додекаэдр мог привлекать внимание в силу самых разных причин. По мнению Уотерхауза, грекам могли понравиться, например, его сугубо эстетические особенности, — и все же к исследованию всей совокупности полиэдров мог подтолкнуть только философский интерес: греческая мысль проявляет больше уважения к ограниченному, чем к неограниченному, так что ограниченное число таких тел выглядело своего рода «божьим даром», вписывающимся в их мировоззрение. Октаэдр же не мог быть предметом интереса сам по себе, привлекая внимание только в контексте полиэдров вообще.^[353]

Подтверждением описанной хронологии будет и то, что для пирамиды (правильный тетраэдр) и куба (правильный гексаэдр) существуют слова в

354 повседневном языке.а также существуют свидетельства, что выражение «σφαίρα τήν έκ των δώδεκα πενταγώνων» («сфера из двенадцати пятиугольников» у Ямвлиха) достаточно старое. Его упоминает Сократ перед смертью (399 г. — нач, IV в.) в диалоге Платона «Федон», начиная свой рассказ про «настоящую землю» (к которой мы вернемся в главе 3):

[...] та Земля [наст.], если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из двенадцати кусков кожи и пестро расписанный разными

355

цветами.^[354][355]

Таким образом, факт, что знание о додекаэдре вполне могло восходить к времени Гиппаса, подтолкнул некоторых исследователей, которые не сомневаются в геометрическом характере первой демонстрации несоизмеримости, к предположению, что до открытия Гиппас дошел с помощью пентаграммы, а не с помощью квадрата.

«доказательством»; как он справедливо напоминает: формальное доказательство несоизмеримости требовало бы высокого уровня абстрактного и логического мышления.^[357]

Итак, прямого текстуального подтверждения того, открыл ли Гиппас «несоизмеримость» как таковую с помощью правильного пятиугольника (т. е. пентаграммы), нет.^[358]Однако, поскольку с большой вероятностью ему можно приписать умение вписывать додекаэдр в сферу (или хотя бы знакомство с додекаэдром, логично предположить, что он умел конструировать правильный пятиугольник, а тем самым, мог открыть несоизмеримость,

359

которая в нем заключена.^[359]

Что это знание означает? Конструкцию самого додекаэдра или просто понимание, что он каким-либо образом вписывается в сферу? Как мы видели, знакомство Гиппаса с ним практически несомненно, но оно одно не приведет к открытию несоизмеримости.^[360]

Связать конструкцию додекаэдра и открытие несоизмеримости можно только через конструкцию пятиугольника (т. е. пентаграммы), которая подразумевает знание «золотого сечения» и факта, что отрезки «золотого сечения» несоизмеримы.^[361]Важность пентаграммы в данном вопросе подчеркивали такие авторитетные ученые, как Хит и Ван дер Варден.^[362]

«Золотое сечение» — сечение прямой таким способом, чтобы сама прямая относилась к большому отрезку как большой отрезок относится к меньшему. Пересечь линию по золотому сечению не сложно. Попробуем описать поступок обычными словами, не пользуясь современными терминами^[363]:

Берем прямую (AB);под ней строим квадрат, как на рис.

квадрата делим пополам; из точки посередине как из центра рисуем круг; пересечение этого круга и продолжения левой стороны квадрата дает новую длину; проецируем новую длину на изначальную прямую, конструируя меньший квадрат; место пересечения — «золотое сечение».

Однако для проверки разделили ли мы прямую ABпо «золотому сечению», как видно в Euc. II.11, требуется достаточно сложная процедура, основанная на доказательстве, что желтый квадрат и прямоугольник одинаковы по площади; потом рассчитываются необходимые пропорции. Проще это доказать нельзя. Какие же знания теперь необходимы для конструкции додекаэдра?

Рис. 4: Первый шаг конструкции правильного додекаэдра: адаптировано из [Lucic 2009: 194].

Попробуем также простыми словами описать эту конструкцию. Берем куб; делим пополам верхнюю сторону прямой, прямую тоже делим пополам; обе половины прямой делим по «золотому сечению», располагая меньшие отрезки по краям (рис. 4); большие отрезки поднимаем вертикально над плоскостью стороны куба; такую же процедуру повторяем с передней стороной куба, как на рисунке. Таким способом получаем пять точек, которые дают правильный пятиугольник. Действие повторяем 12 раз до получения полного правильного додекаэдра. Центр куба (который легко определить) будет и центром сферы, которая включает в себя и куб и додекаэдр.

Однако для доказательства, что желтая поверхность (рис. 4) является правильным пятиугольником, требуется, как видно в Euc. XIII.17, процесс большой дедуктивной сложности, который включает доказательство равенства сторон, углов, и доказательство, что фигура плоская. Доказательство опирается на многие другие, ранее доказанные предложения.

Поэтому ни о каком доказательстве в начале V века речь идти не может. Несмотря на это, на наш взгляд, Гиппас или кто-то из его современников вполне мог придумать саму конструкцию, а результат просто считать очевидным.

Теперь рассмотрим, как знание конструкции пентаграммы могло привести до открытия несоизмеримости.

Рис. 5: Реконструкция несоизмеримости диагонали и стороны

правильного пятиугольника Фрица [Fritz 1945: 257].

Рис. 6: Реконструкция несоизмеримости диагонали и стороны правильного пятиугольника Геллера [Heller 1958].

Фон Фриц предлагал цепочку встроенных пентаграмм, и, такой чертеж, по его мнению, как доказательство был приемлем по стандартам этого времени. Геллер предлагал цепочку равнобедренных треугольников, над которым

бесконечно выстраиваются все меньшие и меньшие пятиугольники. В обоих случаях мы пытаемся измерить диагональ стороной, как в определении Эвклида; элементарное знание пропорций говорит нам, что каждый раз пропорция измеряемой и измеряющей прямых повторяется, и так до бесконечности.

Это все означает, что знание о несоизмеримости, содержащейся в пентаграмме, знание конструкции «золотого сечения» и знание конструкции додекаэдра не обязательно связаны между собой. Даже если первооткрыватель знал конструкцию додекаэдра, он вполне мог ее построить без любой из предложенных исследователями конструкций. Другими словами, вам не нужно знать о «несоизмеримости» отрезков «золотого сечения», чтобы им пользоваться.

Как отмечает Жмудь, идея, которая связывает Гиппаса, додекаэдр и открытие несоизмеримости привлекательна потому, что она «объединяет оба приписываемых Гиппасу открытия».^[364]

Критика вышеописанных реконструкций довольно убедительна. Как говорил Буркерт, «насколько мне известно, в традиции никогда не предполагали связь правильного пятиугольника с иррациональностью».^[365]Жмудь уточняет: «Источники IV в., в частности, Платон (Tht. 147d, Parm. 140bc) и Аристотель связывают открытие иррациональности со стороной квадрата, а не пятиугольника».^[366]Более того, Буркерт отрицает возможность, что пентаграмма вообще была причиной глубокого математического размышления в раннем пифагореизме, но не исключает возможность ее роли, вместе с додекаэдром, как символа. Это, однако, не означает, что рассказы о наказании Гиппаса являются полным вымыслом: «Додекаэдр был важным

символом, как и пентаграмма: грехом Гиппаса мог быть публичный анализ священного объекта математическими способами».^[367]

Делаем вывод: конструкция додекаэдра вполне могла быть известна Гиппасу, но связывать пентаграмму с усилиями по систематической демонстрации несоизмеримости (как напр. у Феодора) не стоит.

Теперь рассмотрим возможность того, что Гиппас заметил несоизмеримость в квадрате, как косвенно намекают Платон и Аристотель. Так же, как и в случае пентаграммы, пытаясь попеременно измерить диагональ квадрата с помощью его стороны (как в определении Эвклида или реконструированном процессе определения числового отношения в консонансе), мы сталкиваемся с ситуацией, в которой подобные треугольники бесконечно повторяются. Чтобы понять, что каждый новый треугольник подобен предыдущему, достаточно элементарного геометрического знания эпохи Фалеса. Как напоминает Ван дер Варден, «рациональный» («высказываемый») диаметр в «Государстве» Платона является возможной индикацией существования именно такого порядка действий, как на рис. 7.^[368]

Рис. 7: Демонстрация несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Во втором случае видно, насколько порядок действий легко обобщается.

Сильной стороной этого предположения является то, что квадрат — бесспорно, самая простая фигура, на которой возможно демонстрировать

369

несоизмеримость.

2.3.3.