Открытие несоизмеримости как мыслительный феномен

В литературе дискуссия о возможной связи открытия несоизмеримости с другими областями раннепифагорейского учения обычно ведется в контексте положения этого открытия в истории математики.

Как мы уже сказали в начале этой главы, легенда гласит, что один пифагореец (наверное, Гиппас) «погиб в море как нечестивец» или «был изгнан из общества» по причине разглашения тайного знания о несоизмеримости. Появлению такой легенды могло способствовать двойное значение слова άρρητος: «иррациональный, невыразимый в числах» и ~ о о430

«священный», «тайный».

Сегодня между авторитетными исследователями в целом существует

практический консенсус по поводу того, что никакого кризиса в математике открытие несоизмеримости не произвело.^[430]Отсутствие свидетельств, которые бы подтвердили возникновение кризиса, резюмирует Буркерт: Платон и Аристотель, несмотря на свои многочисленные упоминания несоизмеримости, не упоминают ни о каком скандале, вызванном открытием несоизмеримости; Эврит, очевидно, намного позже мнимого «землетрясения», вызванного этим открытием, дает вещам форму с помощью чисел; Аристотель никогда не использует несоизмеримость как аргумент против пифагорейцев.^[431]Таким образом, утверждается, что открытие несоизмеримости не только не произвело большого эффекта в математике; утверждается, что оно вообще не произвело никакого эффекта.

Норр, историк математики, наоборот, подразумевал что «открытие иррациональности» было настолько всеприсутствующим, что «наивный» взгляд «Экфанта» просто не мог артикулироваться после такого открытия, и из-за этого совершил грубые хронологические ошибки.^[432]

Жмудь этот вывод критикует, называя хронологию Норра «произвольным

датированием».^[433]Однако с другой стороны, он считает, что «открытие несоизмеримости» не повлияло ни на что, и, в пользу такого взгляда, указывает на свидетельство Аристоксена, который в IV веке спокойно писал, что «между всеми числами имеется λόγος» (fr.

Еще Ван дер Варден сформулировал «классическое» резюме такого подхода: «Кризис фундаментов (Grundlagenkrise) греческой математики, по моему мнению, не был философской, но внутренней математической вещью, и он произошел из открытия иррационального».^[436]Буркерт в этом согласен с ним: «Иррациональное принадлежит к области геометрии, а не арифметики. Для пифагорейцев, связанных с числовой теорией, описанной Аристотелем, и для космологии, которая основывается на фразе “все есть число”, иррациональное не имело никакого значения. [...] Пифагорейская теория чисел и дедуктивная математика лежат в двух разных плоскостях: “все вещи суть число” никогда не значит, что “все величины соизмеримые”.»^[437]

Несколько утверждений Буркерта, Нора и Жмудя нуждаются в комментариях.

(а) Временная дистанция между Гиппасом и Феодором, который продолжил его исследования, может говорить не об отсутствии интереса, а наоборот, о том, что предмет был слишком сложным для старой раннепифагорейской парадигмы. Изложенная нами в предыдущих

подразделах реконструкция наглядно демонстрирует, насколько сложным оказалось обсуждение концепта несоизмеримости в рамках двухмерной арифметики.

(б) «Иррациональное», как утверждал Буркерт, действительно принадлежит геометрии, и это видно из определения Эвклида; вероятно, и первое соприкосновение с несоизмеримостью в V веке было геометрическим (2.3.2); однако, как мы видели, оно касается арифметики, потому что Феодору, а возможно, и первооткрывателю (2.3.4) нужно было найти способ перейти к этой области по причине визуальной неочевидности бесконечного повторения на «ввертывающихся в себя» чертежах;

(в) Говорить «все вещи суть число» равно «все величины соизмеримы» можно только исходя из перспективы толкования Аристотеля; как мы видели (2.1.2-2.1.3), такое толкование подразумевает несуществующий у пифагорейцев концепт числа.

(г) Буркерт интерпретирует «кризис» так, что пифагорейцы были бы вынуждены отказаться от своей метафизики, если бы на них (математическое) открытие несоизмеримости оставило какое-то впечатление. Однако разве неустойчивые и внутренне напряженные системы редко встречаются в истории идей? Утверждение Буркерта подразумевает, что раннепифагорейская система была некой непротиворечивой и устойчивой конструкцией; как мы увидим в разделе 2.4, дела обстояли скорее наоборот.

(д) Несмотря на то, что позиции Жмудя и Норра расходятся, они, на наш взгляд, совпадают в том, что проецируют концепт научной парадигмы (как ее описал Кун), которая рушится в силу неспособности интегрировать в себя возникшее новое знание. Один и тот же аргумент применяется в двух совершенно разных направлениях. В обоих случаях мы имеем дело с анахронизмами.

На наш взгляд, только после Теэтета можно говорить о действительном отделении математики. Способ абстракции у Теэтета, который век спустя, привел к созданию таких произведений, как «Начала» Эвклида, стал

возможным только благодаря появлению нового концепта числа, и этот абстрактный концепт, по всей видимости, является как раз тем, что Аристотель приписывает ранним пифагорейцам. Ситуацию наглядно описывает Лучич: «Теэтет пришел к общему решению проблемы несоизмеримости, а Эвклид поместил это решение в Книгу VIII. Новая арифметика была независимой от рисунков и не ссылалась на теории четного и нечетного. Дедуктивная структура доказательства, которое Эвклид приводит для VIII.14, очень сложна по сравнению с дедуктивными структурами раннепифагорейских доказательств, включая доказательства Феодора. Только после Феодора логическая структура (точность) получает более высокий статус, чем визуальная очевидность . Арифметические книги “Начал” являются прекрасным примером этой новой арифметики.»^[438]

Если на это событие посмотреть в рамках нашего уже сложившегося комплекса мыслительных феноменов, перемены, происходящие в арифметике в IV веке показывают, что дотеэтетовская арифметика как мыслительный феномен не отличается от других проявлений феномена прото­упорядочивания одинакового.

Учитывая мыслительное родство раннепифагорейских активностей, относящихся сегодня к разным дисциплинам, очень сложно, на наш взгляд, вообразить полную дизъюнкцию «математиков» и «метафизиков».^[440]Сложно представить более благодатную почву для рассмотрения результатов геометрических и псефических конструкций, чем мыслительный феномен

прото-упорядочивания одинакового. Как мы видели, факт того, что математические занятия (геометрические или арифметические) повлияли на акустические занятия ранних пифагорейцев или взаимодействовали с ними (подраздел 2.2.5), не заключает для большинства исследователей в себе ничего необычного. Почему тогда космологические и онтологические спекуляции должны были проводиться строго автономно, как предлагали многие влиятельные исследователи?

Поэтому мы считаем, что нет причин полностью отказываться от идеи о том, что открытие несоизмеримости оставило свой след на онтологических спекуляциях в раннем пифагореизме — и наоборот. Как мы заключили в подразделах 2.3.2-2.3.4, геометрическая демонстрация несоизмеримости была, по всей видимости, бесполезным средством для анализа открытия, особенно в поисках формализации проблемы. Однако текстуальное связывание открытия с геометрическими фигурами и сходство с доказанными практиками в гармонике, на наш взгляд, дают основания для заключения, что в V веке рисунки, подобные 5 и 7, существовали и были известны. В таком случае, тех, кто был с ними знаком, — а это, без сомнения, относится к образованным пифагорейцам, — должно было крайне впечатлить зрелище ввертывающейся в себя пентаграммы или треугольника.

На первый взгляд может показаться, что никакое арифметическое доказательство не могло произвести такой интеллектуальный эффект, как ввертывающийся в себя чертеж.

В подразделе 2.3.4 мы пришли к выводу, что доказательство несоизмеримости, которое в раннепифагорейской парадигме демонстрировал Феодор, вероятно, было арифметическим. То же самое, скорее всего, касается и первого древнего пифагорейского доказательства несоизмеримости эпохи Гиппаса. С другой стороны, в подразделах 2.2.5 и 2.2.6 мы поняли, что у нас есть и сильнейшие свидетельства в пользу математической активности,

похожей на геометрию, которая помогло ранним пифагорейцам прийти к некоторым фундаментальным выводам; прежде всего это гармоника. Сама древность «геометрической активности» доказывает, что не стоит отбрасывать и возможность демонстрации несоизмеримости путем «ввертывающихся в себя» квадратов или пентаграмм. Также мы предварительно показали, что и псефичскую арифметику, и гармонические эксперименты, и практику Эврита связывает один и тот же мыслительный феномен: прото-упорядочивание и повторение одинаковых прото-единиц, которые на что-то показывают или определяют.

Это все приводит нас к мысли о том, что на уровне мыслительных феноменов «арифметика» и «геометрия» в раннем пифагореизме не были настолько различными, как это кажется сегодня.^[441]При этом мы подчеркиваем, что это не означает ни «арифметизации геометрии», ни «геометризации арифметики». На уровне идентифицированного нами феномена прото-упорядочивания и (а) прото-единицы, и (б) октава как «величина гармонии», и (в) единичные длины (units) в «геометрии», и (г) единичные камешки Феодора, и (д) единичные струны в гармонике, и

(е) единичные камешки пределов-определений Эврита функционируют схожим образом. Исходя из повторения одинакового, они строят некие прото­упорядоченности, в которых показывается (или не показывается) новая прото-упорядоченность, которая тоже должна состоять из одинакового.

происхождение. Итак, по порядку (а) прото-единица указывает на свое происхождение, (б) прото-единица и гармония указывают на свое непосредственное потомство — октаву, (в) прото-упорядоченности из 3 и 4 связанных единичных длин показывают на 5 прото-единиц и, создавая новую прото-упорядоченность, проявляют гармонию, заложенную в прото-единице, (г) камешки Феодора могут (или не могут) распределиться в новую прото­упорядоченность, (д) струны длиной в 2 и 3 единичные струны показывают (т. е. производят) квинту, (е) связанные камешки Эврита (которые похожи и на серию единичных линий) — это прото-упорядочивание, показывающее некую вещь. (Если существовала тетрактида, тогда и она, как прото­упорядочивание, показывала величину гармонии.)

Рисунки 5 и 7 полностью соответствуют такому пониманию повторения (это наглядно видно в любом действии, в котором отношение определяется путем попеременного вычитания). Это означает, что ввертывание — тоже результат прото-упорядочивания. И это позволяет сделать критический вывод: показывание (демонстрация) невысказываемого (алогичного) ничем не отличается от показывания (демонстрации) высказываемых отношений. На невысказываемое указывают как бесконечные, ввертывающиеся в себя прото-упорядочивания, так и невозможность прото-упорядочить нечто, на что можно указать (например, квадрат на рис. 18 или, — теоретически, — интервал, который получается из двух струн, соотносящихся как диагональ и сторона квадрата).

Если «поставить в скобки» все современные области, из которых берутся эти примеры (онтологию, геометрию, арифметику, гармонику...), мы поймем, что (1) псефи — это всегда рисунок и что (2) любое упорядочивание имеет материальный, пространственный характер.^[442]Раннепифагорейская «математика» не просто «расчет», она всегда также и рисунок. Подчеркнем, — мы объяснили это в подразделе 2.2.3, — что (2) не имплицирует никакой

«атомизм» (точек, линий или чего-то другого); мы не постулируем существование «атомов» (тем более атомов, не связанных между собой гармонией). Все перечисленное (а)-(е) — это генофания.

Согласно смыслу (2), ввертывающийся в себя квадрат или пентаграмма, стороны и диагонали которых вместо нового высказываемого повторения показывают на невыразимую пустоту, «дыру», имеют значительное сходство с рисунком Эврита, как их противоположности. Как мы видели в 2.2.2, у Эврита прото-упорядочивание выстраивает предел; на рисунках 5 и 7 находится нечто, что можно было бы описать как «дыру, которую невозможно заполнить»; рисунок некоторым образом указывает путь в невысказываемое безграничное, бес-численность.

Факт однородности мышления важнейших представителей раннего пифагореизма дает нам право называть это течение ранней пифагорейской школой (РПШ) со всеми ограничениями, изложенными нами в разделе 1.4.^[443]Это также означает, что мыслительный феномен прото-упорядочивания одинакового можно больше не считать гипотезой.

Если вернуться к лаконичному утверждению Буркерта («все есть число» тогда и только тогда, когда «все соизмеримо»), то можем сказать, что оно не соответствует ни реальному положению дел в раннем пифагореизме, ни нашей интерпретации. Мы не утверждаем, что «все есть число»; наше переплетение мыслительных феноменов с центром на феноменах прото­упорядочивания и прото-единицы нельзя перевести на утверждение «все есть число».

Мы здесь соприкасаемся с выводом Барнса о том, что безграничное и непознаваемое — это не одно и тоже. По его словам, «фундаментальное предположение о том, что «нет познания безграничного», кажется

необоснованным предрассудком».^[444]Действительно, если присмотреться к логической структуре фрагмента 3 Филолая («Согласно Филолаю, если бы все было безграничным, то вовсе бы не было того, что можно познать»), он действительноне имплицирует, что безграничное равно непознаваемому. Однако предрассудок все же не возник «из ниоткуда». Если просто приравнять невысказываемое к несоизмеримому, тогда Барнс окажется прав, и безграничные становятся подобным необработанной материи, которой числа (ограничивающие) позволяют стать выразимой; космос остается складной, мирной структурой.

На наш взгляд, ситуация сложнее. Из проделанной нами к настоящему моменту работы по формулировке феномена прото-упорядочивания видно, что он связан с космогонией; космогония имеет свой пространственный и временной вид. Этот космогонический аспект прото-упорядочивания усложняет отношение безграничных и невысказываемого.

Суть в том, что невысказываемое, понятое как отклонение от прото­упорядочивания, является своеобразным дефектом. На примерах пентаграммы и квадратов Феодора видно, что невысказываемое можно даже нарисовать; тем не менее, оно указывает на дефект. Невысказываемое — это не просто эквивалент безграничного, которое тоже невозможно выразить числами; оно отчасти даже «хуже». Эта невысказываемая бес-численность, таким образом, становится «темной» стороной космогонического прото­упорядочивания (космогонической генофании), потому что, в отличие от безграничного, которое гармонически соединяется с ограничивающим и становится выразимым, тут невыразимое и бес-численное получается из самого выразимого. Безграничные существуют, они вечны. Невыразимое появляется, и оно тоже является частью генофании.^[445]Поэтому они не могут быть одним и тем же, но при этом они связаны посредством бесчисленности.

Все это означает, что отношение прото-упорядоченности, безграничного, несоизмеримости, выразимого и познаваемого нуждается в дальнейшем анализе. К счастью, есть свидетельства, которые могут позволить лучше понять это отношение и уточнить описания мыслительных феноменов, интересующих нас в данной диссертации.

Это — тема следующего раздела. Наше исследование будет проходить в таком порядке: мы рассмотрим свидетельства Филолая о космосе как целостности; затем попробуем реконструировать раннепифагорейское понимание самого порядка. Это даст нам возможность уточнить описание мыслительных феноменов прото-единицы и прото-упорядочивания, а также поможет сконструировать тезис о раннепифагорейском дуализме в 2.4.3. В конце мы рассмотрим, как факт существования акусм соотносится с уже описанным комплексом мыслительных феноменов. К этому моменту у нас будет все необходимое, чтобы мы могли обоснованно ответить на вопрос, заданный в названии диссертации: присутствуют ли в таком переплетении мыслительных феноменов зародыш концептов логики и зла?