<<
>>

Лекция Феодора и древнее доказательство

Результат изучения природы первого открытия несоизмеримости в подразделе 2.3.2 неудовлетворителен. С одной стороны, мы имеем, кажущееся правдоподобную демонстрацию с помощью квадрата, но с другой, убедительные свидетельства об арифметической природе раннепифагорейской математики в V веке.

Однако у нас есть и другие свидетельства: они касаются пифагорейца Феодора из Кирены, который продолжил дело Гиппаса по исследованию несоизмеримости поколение спустя. Реконструкция его действий будет способствовать лучшему пониманию несоизмеримости в раннем пифагореизме и самой природы возможного доказательства у Гиппаса.

Посмотрим на имеющиеся у нас свидетельства. К ним принадлежит и самое ранее конкретное упоминание несоизмеримых величин. Его мы находим у Платона в «Теэтете», когда там идет речь о Феодоре. Процитируем этот важный отрывок, в котором беседуют Сократ и Теэтет:

[Сократ:] Не геометр ли он [Феодор]?

[Теэтет:] Несомненно, Сократ.

— Не знаток ли он также астрономии, искусства счета, музыки и вообще всего, что касается образованности?

— По-моему, да. [...]

— Скажи мне тогда: узнаёшь ли ты от Феодора нечто о геометрии?

— Да.

— И о астрономии, гармонии, вычислениях тоже? Стараюсь по крайней мере.

— Вот и я, мальчик мой, тоже учусь у него и всех остальных, кто, по- моему, что-то в этом смыслит. Присутствующий здесь Феодор чертил [έγραφε] нам что-то о квадратных корнях [περί δυνάμεων][394],показывая, что стороны квадратов, содержащих три [τρίποδος] и пять квадратных футов [πεντέποδος], несоизмеримы со стороной одного квадратного фута. Он выбирал один за другим квадраты вплоть до семнадцатифутового [έπτακαιδεκάποδος], а на нем остановился. И вот нам пришло на ум, поскольку число корней казалось бесконечным, попытаться объединить их все под одним именем, которым мы назовем все эти корни. — Ну и как, нашли вы такое имя?

— По-моему, нашли, но смотри сам.

— Говори.

— Мы разделили все числа на два разряда. Те, которые способны получаться путем перемножения равных множителей, мы уподобили по фигуре квадрату и назвали их квадратными и равносторонними.

— Отлично.

— А те, что находятся между ними, как, например, три, и пять, и всякое число, которое не может получится из умножения равного на равное, но либо большего на меньшее, либо меньшего на большее, так что на фигуре оно всегда заключено между неравных сторон, мы уподобили прямоугольной фигуре и назвали прямоугольным числом.

— Отлично. Но что потом?

— Все линии, которые квадрируют плоско равностороннее число, — как потенции (δυνάμεις), поскольку они несоизмеримы с первыми по длине, но лишь по плоскости, которую они могут [~ обладают потенцией] [заключают в себе]. То же и об объемных фигурах.[395]

Первое, что нужно заметить — это «изображение квадратов», что, на первый взгляд, говорит в пользу геометрического доказательства.

Кроме того, наблюдается отсутствие квадрата «из двух квадратных футов». Логично
предположить, что этот факт («иррациональность √2>>) тогда был известен.

Однако ситуация с реконструкцией действий Феодора далеко не проста. Исследователю данного вопроса надо разобраться с тремя проблемами: (1) какое доказательство больше соответствует духу математики V (или даже VI) века? (2) почему Феодор остановился именно на 17? (Удовлетворительный ответ должен показать, почему 17 представляет препятствие, естественно происходящее из средств, которыми располагали во времена до Феодора);[396][397](3) «Стороны квадратов [...] несоизмеримы со стороной одного квадратного фута» — это трактовка Теэтетом результатов, которых добился Феодор, или слова самого Феодора?

Рис. 12:

Генерализация предполагаемого геометрического доказательства Феодора [Knorr 1975: 182].

Одно из исторически возможных раннепифагорейских 397

показывается, что

доказательств — «геометрическое», и мы описали его в главе 2.2.1. В нем появляется бесконечное повторение одного и того же геометрического процесса попеременного вычитания, и с помощью него диагональ и сторона квадрата несоизмеримы (т. е., что стороной невозможно измерить диагональ).

Если это действительно было так, тогда логично предположить, что Феодор продолжил действия Гиппаса в его гипотетической геометрической форме. Как реконструирует Норр, Феодор мог демонстрировать своей аудитории корни нечетных и четных величин следующим образом: «Если число Nнечетное, то сторона квадрата из Nплощадных единиц (units) конструируется как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой (N + 1) / 2 линейных единиц и чей второй катет равен (N- 1) / 2 единиц. [...] Если число Nчетное, √Nконструируется как половина катета прямоугольного треугольника с гипотенузой N + 1, чей второй катет равен N- 1.»[398]

Другими словами, по мнению Норра, фигура с рис. 12 была известна Феодору, более того, она являлась центральным элементом его лекции.[399]

Когда мы вслед за Теэтетом делаем вывод о несоизмеримости, тогда наши рассуждения переходят в область арифметики. Как предполагал Норр, «говорить, что корень и единица (unit) состоят в отношении A:Bозначает, что существует некая меньшая длина, которой можно измерить корень А раз, а [саму] единицу (unit) Bраз.»[400][401]Принимая меньшую длину в качестве новой единицы, конструкция левого треугольника на рис. 13 превращается в «числовой» треугольник на этом же рисунке. Норр добавляет, что «имея в виду “числовой” характер метрической геометрии, которая стояла за действиями Феодора, такое превращение, вероятно, могло подразумеваться в тот исторический период.»

Рис. 13: Реконструкция гипотетического геометрического доказательства Феодора [Knorr 1975: 183].

Лучич, однако, считает геометрическое доказательство маловероятным по

401

двум причинам.

Первая — визуальная очевидность (наглядность), главный элемент математики раннего периода, в конструкциях, изображенных на рис. 5 и 7, отсутствует; она несопоставима с незаконченным. Лучич делает важное замечание о том, что даже Эвклид, почти через два века после Гиппаса (которому приписывается первое геометрическое доказательство), не пользуется таким приемом ни с какими целями.

Вторая причина — след этих интеллектуальных событий в «Началах». Эвклид описал процесс, представленный на рисунке 5, в определении X.2 (процитировано нами в подразделе 2.2.1) и дал геометрическое доказательство. Однако, несмотря на кажущуюся важность и полезность, он этим результатом нигде в «Началах» не пользуется. В связи с этим, в своей недавней работе Лучич выдвигает тезис о том, что предложение VIII.14 на самом деле является доказательством Эвклида теоремы Теэтета, о которой речь шла в «Теэтете». Предложение VIII.14 гласит:

Если квадрат измеряет квадрат, то и сторона измерит сторону; и если

402

сторона измеряет сторону, то и квадрат измерит квадрат.

Однако доказательство этого предложения не геометрическое.[402][403]Эвклид в нем пользуется квадратными числами. Если это так, то VIII.14 содержит свидетельство о том, что представляли собой первые попытки действий вне псефической арифметики, когда прото-единицы ушли в прошлое.

Итак: (1) геометрическое доказательство (Х.2) Эвклид дает, но нигде им не пользуется; (2) доказательство предложения, похожего на описание лекции Феодора, — арифметическое. Значит, предложение Х.2 не имеет связи с Феодором, и идея о геометрическом доказательстве должна быть отброшена.[404]

Рис. 14: Примеры генерализации в гипотетическом геометрическом действии Феодора [Lucic 2015b: 11.6].

Другая причина, по которой геометрическое доказательство маловероятно, — легкость обобщения (рис. 14). Геометрическое доказательство настолько легко обобщить, что, если, как предлагает Норр, Феодор знал о конструкции, показанной на рис. 12, не было бы никаких причин останавливаться на 17. Более того, случай с 17 не только не должен стать препятствием; он тривиален и намного легче примера с 3. Для доказательства несоизмеримости стороны семнадцатифутового квадрата со стороной однофутового достаточно нарисовать треугольник со сторонами 1 и 4 и применить бесконечное повторение, изображенное на рис.5.[405]Поэтому практически отсутствует вероятность, что Феодор пользовался геометрическим доказательством.[406]

Мы считаем эти аргументы крайне убедительными и еще вернемся к ним в этом подразделе.

Достоверность вывода о том, что Феодор не пользовался геометрическим доказательством, заставляет нас пересмотреть все, что мы говорили про открытие «иррациональности √2>>, приписываемое Гиппасу. Поэтому нашей следующей задачей является рассмотрение того, как обстоит дело с возможными реконструкциями не-геометрического доказательства, и насколько они убедительны, т. е. как отвечают на три заданных нами вопроса об отрывке из «Теэтета», а также каково их текстуальное подтверждение.

Лучич пишет, что самый ранний намек на эту не-геометрическую возможность мы находим в «Первой аналитике» Аристотеля, где он

407

описывает «доказательства через невозможное»:

А что посредством этих же фигур ведутся также доказательства через невозможное, умозаключают к ложному, а первоначально принятое они доказывают, исходя из предположения, когда из признания того, что противоречит [первоначальному принятому], вытекает нечто невозможное; например, несоизмеримость диагонали [со стороной квадрата] доказывают тем, что если признать их соизмеримость, то нечетное окажется равным четному. Таким образом, то, что нечетное оказывается равным четному, выводится на основании умозаключения, а что диагональ несоизмерима [со стороной квадрата], доказывается исходя из предположения, так как из признания того, что противоречит [первоначально принятому], получается ложное, ведь умозаключать через невозможное, как было сказано, — значит доказывать нечто невозможное посредством первоначально допущенного предположения.[407][408]

Это описание в литературе связывается с реконструкцией, которая называется «традиционным доказательством с помощью четного и нечетного» («traditional even-odd proof»).[409]В разработанном виде и в современной записи оію выглядит так: если √2 = p/q,где pи q — это взаимно простые числа, тогда p2 = 2q2. Квадрат нечетного числа — это тоже нечетное число, и это означает, что pчетное число, например p = 2r. Далее это означает, что 4r2 = 2q2, т. е. q2 = 2r2. Отсюда следует, что √2 = q/r. Однако мы предположили, что pи qвзаимно простые числа, т. е. что p/qнесократимо. Получается противоречие («доказательство через невозможное», как говорит Аристотель); значит, нет такихpи q,при которых √2 = p/q.[410]

Проблема с этим доказательством состоит в том, что, помимо текстуально подтвержденной арифметики четного и нечетного, оно требует знаний концепта взаимно простых чисел, что кажется достаточно сложным для первооткрывателя в начале V века. Конвей и Шипман считают, что есть еще одно исторически и математически возможное доказательство, которое пользуется дихотомией «четное-нечетное» на еще более примитивном уровне. Это «доказательство через единственную факторизацию» («unique factorization proof»).[411]Оно очень короткое: если q2 = 2p2, тогда факторизация q2содержит четное число факторов равных двойке, в два раза больше, чем факторизация числа q, поскольку факторизация 2p2очевидно содержит нечетное число двоек (на парное число двоек добавляем еще одну). Однако, разные факторизации обязательно состоят из разного количества элементов. Поэтому q2не может быть равно 2p2, и квадратный корень из 2 — это «не

412 рациональное число».[412]

Однако, как отмечает Лучич, несмотря на то, что это доказательство основано на арифметике четного и нечетного, ключевой аргумент доказательства взят не из псефической арифметики: понять единственную факторизацию невозможно с помощью камешков. В «Началах» есть описание факторизации, — предложение XI.14:

Если число будет наименьшим измеряемым первыми числами, то оно не измерится никаким иным первым числом, кроме первоначально измерявших .[413]

Понимание того, о чем говорит Эвклид в доказательстве этого предложения, подразумевало бы упорядочивание камешков в более чем двух 414

измерениях.

Конечно, можно предположить, что идеей о единственной факторизации пользовались без доказательства. Но даже в таком случае, отмечает Лучич, эта реконструкция страдает от того же недостатка, что и геометрическая: ее очень легко обобщить. Поэтому крайне трудно представить, что Феодор об этой легкости обобщения не знал. Вопрос «почему Феодор остановился на 17?» пока остается без ответа.

Как говорит Лучич, у нас есть еще одно ценное свидетельство, которое, может быть, скрывает ключ к решению поставленного вопроса. Это — «Менон».[414][415]В известном эпизоде, когда Сократ с помощью раба доказывает, что знание — это припоминание, находится ядро демонстрации несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны, и оно — арифметическое.[416]Суть в том, что эта идея скрыта за другим вопросом: в каком отношении находятся сторона данного квадрата и квадрата, площадь которого в два раза больше? А этот же вопрос скрыт за еще более простым и древним вопросом: как сконструировать квадрат в два раза больше, чем данный?

В «Меноне» раб с помощью Сократа показывает, что квадрат, который в два раза больше по площади, можно сконструировать, но что невозможно найти такой квадрат со стороной, длина которого состоит из целого числа
единиц (т. е. чтобы эта сторона была соизмерима со стороной, длина которой 1).

Рис. 15: Размышления раба Менона [Lucic 2015b: 12.3].

Раб пытается удвоить по площади квадрат со стороной длиной в два фута; этот квадрат по площади четырехфутовый (маленький квадратик в углу левого рисунка). Вопрос Сократ формулирует так [83c]: «Из каких же сторон получается восьмифутовый квадрат?». В процессе, как показано на нашем рисунке 15, оказывается, что квадрат из четырехфутовых сторон — это неправильный ответ (левое изображение) и что [84е] «не получился у нас из трехфутовых сторон восьмифутовый квадрат» (среднее изображение). Но когда построена конструкция, изображенная на рисунке справа, звучит вопрос: [85b] «А из каких сторон [...] получился у нас восьмифутовый квадрат»? Сократ отвечает за раба: «Люди ученые называют такую линию диагональю».

Следовательно, искомый квадрат существует, но он «неуловим». На левом изображении (рис. 15) он скрывается между средним и маленьким (изначальным) квадратом. Заметим, что всю демонстрацию легко переложить в псефическую систему.

Чтобы с помощью такого метода показать, что удвоение площади невозможно для любого квадрата, а не только для случайно выбранного четырехфутового, по словам Лучича, достаточно осуществить следующую процедуру:

Рис. 16: Процесс обобщения действия из «Менона» средствами псефической арифметики [Lucic 2015b: 2.7].

Квадрат, по известным нам правилам четных и нечетных чисел, делится пополам (тем самым сохраняя пропорции) до тех пор, пока не получается ситуация из «Менона». Эта процедура соответствует тому, что описал Эвклид в предложении IX.34:

Если число не будет из получаемых удвоением от двойки и не имеет нечетную половину, то оно будет и четно-четным и четно-нечетным.[417]

Процедура имеет «исследовательский» характер, но при этом беспрепятственно вписывается в рамки двухмерной псефической арифметики. Она, в отличие от «традиционного доказательства по четному и нечетному» и «доказательства по единственной факторизации», не требует ничего, кроме основ обращения с четными и нечетными числами с помощью псефов. Лучич такое доказательство называет «раннепифагорейским».[418]

Если это так, то можно предположить, что Феодор пытался использовать древний метод и для увеличения больше, чем в 2 раза. Как трактует Лучич, лекция Феодора могла основываться на таком же вопросе, который Сократ
задал рабу, но Феодор пытался его обобщить. Действительно, в контексте намека из «Менона», эта идея звучит вполне правдоподобно. Процитируем еще раз слова Теэтета (Tht. 147d):

Присутствующий здесь Феодор чертил [έγραφε] нам что-то о квадратных корнях [περί δυνάμεων], показывая, что стороны квадратов, содержащих три [τρίποδος] и пять квадратных футов [πεντέποδος], несоизмеримы со стороной одного квадратного фута. Он выбирал один за другим квадраты вплоть до семнадцатифутового [έπτακαιδεκάποδος], а на нем остановился.

Реконструкция Лучича движется следующим образом. Говоря современным языком, в «Меноне» показано, что нет таких рациональных pи q,где p2 = 2q2. Феодор же решил найти, есть ли такое к, где p2 = kq2.С учетом статуса арифметики четного и нечетного в его время, он проверял два случая: существуют ли такие четные к; существуют ли такие нечетные к.

В первом случае наглядно демонстрируется, что у нас получается только вариант простого меноновского доказательства (рис. 15). Другими словами, случаи с увеличением площади в, например, 6 и 10 раз простыми псефическими операциями превращаются в случай с 3 и 5 соответственно.

Во втором случае, если к нечетное, Феодор знал, что либо и p,и qчетные, либо оба нечетные. Для этого требуется элементарное знание о четности произведения четных и нечетных чисел (рис. 11). Если они оба четные, тогда процесс упрощается, как в предыдущем случае, пока он не дойдет до состояния как в «Меноне», или пока не превратится в случай с нечетным увеличением. И в этом последнем случае, с увеличением площади в нечетное число раз, найдется ответ.

В современной записи этот случай выглядит так: (2а+ 1)2= к(2b + 1)2. В псефической арифметике квадрат нечетного числа выглядел так:

Рис. 17: Квадрат нечетного числа: 8 треугольных чисел и единичный элемент [Lucic 2015b: 12.7]. Ср. [Knorr 1975: 175], [Itard 1961: 35].

Заметим, что он состоит из 8 одинаковых треугольных чисел и одного элемента в середине; это квадратный вариант определения нечетного числа как такового (вспомним вышеприведенный fr. 23 Аристоксена, в котором нечетное число имеет «середину»). Итак, квадрат нечетного числа надо увеличить в kраз. Что могло означать действие Феодора, когда тот «чертил что-то о квадратных [корнях]»? Если надо увеличить такое число в несколько раз, тогда увеличение должно ровно распределяться на все элементы, т. е. на 8 треугольных чисел плюс на единичный элемент в центре.

Чтобы получить новый квадрат (и чтобы результат остался нечетным квадратным числом), надо его вновь свести к формуле (2 x + 1)2, т. е. сделать так, чтобы в центре опять остался только один элемент, а около него 8 треугольных чисел. Это означает, что количество камешков из увеличенного центра, уменьшенное на 1, нужно поровну распределить на 8 частей. Значит, если мы хотим, чтобы можно было увеличить изначальный квадрат в kраз и сохранить соизмеримость сторон большого квадрата со стороной изначального, тогда мы должны увеличивать только в такое число раз, которое можно выразить в формуле 8n + 1.

Здесь надо сказать, что первым важность формулы 8 n + 1 понял Итар.[419]Следующий шаг, который Конвей и Шипман считают отдельным типом
доказательства, совершили Башмакова и Лапин: они соединили открытие Итара с «традиционным доказательством по четному и нечетному», показав, что Феодор не мог доказать случай 17 простым методом четное-нечетное.[420]Однако, как отмечает Лучич, они пользуются такой же аргументацией, как и в случае с «традиционным доказательством с помощью четного и нечетного». А это означает, что и доказательство Башмаковой и Лапина не является реконструкцией доказательства Феодора.

Рис. 18: Реконструкция трех- и пятикратного увеличения квадрата из лекции Феодора [Lucic 2015b: 12.7].

Продолжим изложение реконструкции Лучича. Когда Феодор, по словам Теэтета, «выбирал один за другим квадраты», он сразу отбрасывал случай трехкратного и пятикратного увеличения, и это легко показать на чертежах с помощью псефов (рис. 18).

В обоих случаях количество новых элементов невозможно распределить на 8 частей, и рисунок это наглядно показывает. В первом случае на 8 треугольных чисел надо распределить остаток из 2 камешек; во втором остаток из 4. Поэтому «не существуют нечетные pи q,где q2 = 3p2» или q2 = 5p2,[421]т. е. трехкратный и пятикратный по площади квадраты «неуловимы», как и друхкратный квадрат раба Менона. То же самое произошло и когда Феодор рисовал соответствующие квадраты с фактором увеличения 7 (6 не делится на 8 частей) и т. д.

Вернемся к вопросу: почему он остановился на 17? Если не планируем, как
Норр, утверждать, что он остановился по причине ограниченного времени лекции («лекция должна была длиться примерно час»)[422], нужно математическое обоснование этого препятствия.

Первое увеличение в 8n + 1 раз, с которым должен был встретиться Феодор, было, конечно, 9. Это первое увеличение, которое дает нам возможность найти увеличенный квадрат, сторона которого соизмерима со стороной единичного квадрата. Феодор показал примерно такое:

Рис. 19: Реконструкция девятикратного увеличения квадрата из лекции Феодора [Lucic 2015b: 12.7].

Решение появилось сразу, уже с n = 1. Если левый квадрат на рис. 19 (наименьший, который наглядно демонстрирует квадрат нечетного числа, состоявшего из 8 треугольных троек и одной единицы в центре) увеличиваем в 9 раз, получаем 8 элементов из 3 · 9 = 27 камешков и 9 в середине. Теперь делаем квадрат нечетного числа: 8 элементов излишка из центра распределяем на 8 частей: получается 8 раз 28, а 28 — треугольное число (1 + 2 + ... + 7 = 28). В середине остался один камешек. Сторона нового квадрата — 15: (8 · 28 + 1) = 225 = 152. Таким образом, сторона «девятифутового квадрата» (квадрата с площадью в 9 футов) соизмерима со стороной «однофутового квадрата». Похожее действие будет и для n = 3, 6, 10, 15 и т. д.

Однако когда Феодор дошел до следующего увеличения в 8 n + 1 раз, т. е. до 17, он столкнулся с ситуацией, в которой просто не мог найти n,с

помощью которого можно измерить сторону большого квадрата.

Другими словами, заключает Лучич, Феодор не мог ответить на вопрос о том, соизмеримы ли сторона квадрата из 17 футов со стороной квадрата в 1 фут, пользуясь средствами доступной арифметики.

Вот почему Феодор остановился. Он остановился не потому, что доказал, что «корень из 17 иррационален» и дальше не сумел. Он остановился потому, что не мог ни наглядно увеличить квадрат в 17 раз, ни наглядно продемонстрировать, что это невозможно43

Теперь мы должны рассмотреть последнюю часть свидетельства Теэтета. Он говорил, что Феодор показывал, что «стороны квадратов, содержащих три [τρίποδος] и пять квадратных футов [πεντέποδος], несоизмеримы со стороной одного квадратного фута». Критик реконструкции Лучича может задать вопрос (3): если это толкование лекции Феодора правдоподобное почему тогда Теэтет говорит о несоизмеримости сторон? В этих реконструкциях не содержится демонстрации ничего подобного. Другими словами, как от демонстрации (и ее невозможности в случае 17) Феодора происходит переход к утверждению о несоизмеримости сторон соответствующих квадратов?

Здесь надо иметь в виду, что Платон приводит слова Теэтета, а не слова самого Феодора. Как говорил сам Теэтет, ему «число корней показалось бесконечным», и они попытались «объединить их все под одним именем».

Это означает, что ученик последних пифагорейцев перевел арифметику на новый уровень. (И это не единственный вопрос об обобщении, который он задал: вспомним его обобщение вопроса про правильные полиэдры.) Учитель Теэтета, Феодор, сделал максимально возможное в старой парадигме, арифметике камешков, которая опиралась на знания о четном-нечетном и рассуждения, подобные описанным в «Меноне». В этой парадигме он задавал

423По всей видимости, ближе всех к этому добрался Итар ([Itard 1961: «Peut-etre faudrait-il entendre le passage du Theetete comme exprimant justement cette difficulte. La vicille arithmetique du pair et de l'impair bute sur le premier obstacle √17, 17 etant ainsi le plus petit nombre, le “pythmen” des cas qu'elle n'arrive pas a reduire»). Однако, он «тестирование» квадратов нечетных чисел сводит к методу «четное-нечетное».
только старый «меноновский» вопрос об увеличении площади квадрата и в своей лекции поставил точку на одну эпоху, эпоху арифметики камешков. Из реконструкции Лучича следует, что только Теэтет мог задать универсальный вопрос об отношениях диагонали и сторон так, как мы это делаем сегодня.[423]Для того, чтобы он задал такой вопрос, ему требовалась новая идея числа.

Из этой перспективы наша настойчивость в разделе 2.1 на том, что нельзя проецировать аристотелевское (сейчас лучше сказать: дотеэтетовское) понимание числа, оказалось справедливым. На переходе с Феодора на Теэтета видно, что только у Теэтета число перестает быть связано с чем-то конкретным единичным.[424]Поэтому отрицание «математичности» единому у Филолая — анахронизм, который не опровергает связь «единого» и «единиц» из его фрагментов. Теперь наш концепт прото-единицы благодаря новому знанию о том, чем он не является стал более определенным.

Что касается хронологии событий, посмотрим фрагмент из «Парменида», в котором речь идет о несоизмеримости:

— [Парменид] Далее, будучи таким, оно не будет ни равным, ни неравным ни себе самому, ни другому.

— [Аристотель] Почему так?

— [Парменид] Будучи равным, оно будет иметь столько же мер, сколько то, чему оно равно.

— [Аристотель] Да.

— [Парменид] А будучи больше или меньше тех величин, с которыми оно соизмеримо, оно по сравнению с меньшими будет содержать больше мер, а по сравнению с большими — меньше.

— [Аристотель] Да.

— [Парменид] А по отношению к величинам, с которыми оно не сопоставимо, оно не будет иметь ни меньше, ни больше мер.

— [Аристотель] Как же иначе?

— [Парменид] Но разве возможно, чтобы непричастное тождественному было одной и той же меры или имело что-либо тождественное другому?

— [Аристотель] Невозможно.

— [Парменид] А что не одной и той же меры, то не может быть равно ни себе самому, ни другому.

— [Аристотель] Как видно, нет.

— [Парменид] Но, заключая в себе большее или меньшее число мер, оно состояло бы из стольких частей, сколько содержит мер, и, таким образом, опять не было бы единым, но было бы числом, равным числу

426содержащихся в нем мер.

Это упоминание несоизмеримости происходит около 450 г., значит, Платон считает, что оно тогда было известно.[425][426]Если мы согласны, что демонстрацию невысказываемости отношения диагонали квадрата и его стороны надо приписать поколению Гиппаса, тогда сложно переоценить гениальность Феодора, который век спустя сумел эту демонстрацию расширить. Имея в виду, что прошел целый век, можно смело предположить, что многие пробовали это сделать до него. Но результат получил только он.

Резюмируем наши аргументы: (а) ранние пифагорейцы не пользовались геометрическим доказательством, а если и знали чертеж, подобный чертежу на рис. 5, то не считали его доказательством несоизмеримости, потому что (а1) он не был визуально наглядным, потому что (а2) легко произвести обобщение (у Феодора бы тогда не было причин останавливаться на 17) и потому что (аз) Эвклид им не пользуется ни в каких целях; (б) ранние пифагорейцы наверняка не знали ни о «традиционном доказательстве через четное-нечетное», ни о «доказательстве через единственную факторизацию» (в той форме, которую резюмируют Конвей и Шипман), потому что они (б1) подразумевают знания о единственной факторизации и взаимно простых числах, которые невозможно исследовать камешками в двух измерениях и
потому что (б) здесь тоже легко произвести обобщение, и у Феодора бы тогда тоже не было бы причин останавливаться на 17.[427][428][429]Тем не менее, мы считаем вероятным, что ранние пифагорейцы поколения Гиппаса знали «ввертывающиеся в себя» чертежи квадрата и пентаграммы.

Критик реконструкции Лучича мог бы задать еще такой вопрос: если Эвклид определяет несоизмеримость в духе геометрии, как тогда понять заключение, что речь о несоизмеримости на самом деле все это время велась в области арифметики? На это можно ответить, что если величины несоизмеримы, то их можно представить только «геометрически» (как это делается и в «Меноне», и в реконструированном «раннепифагорейском доказательстве»), как их и определяет сам Эвклид. Однако само геометрическое представление не дает наглядности доказательства несоизмеримости, потому что процесс демонстрации никогда не заканчивается; поэтому даже в конце IV века Эвклид таким действием

429никогда не пользуется ни в каких целях, хотя он с ним знаком.

2.3.5.

<< | >>
Источник: Лечич Никола Добривоевич. Общий источник генезиса логики и теории зла в идеях ранней пифагорейской школы. Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук. Москва - 2016. 2016

Еще по теме Лекция Феодора и древнее доказательство:

  1. Индекс рисунков
  2. Дотеэтетовский арифметичекий подход
  3. Первое открытие: квадрат или пентаграмма?
  4. ВВЕДЕНИЕ
  5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  6. Уточнение описания мыслительных феноменов прото-единицы и прото-упорядочивания
  7. Работы по философии систематического характера[108] и работы, посвящённые отдельным философским проблемам.
  8. Предварительная формулировка мыслительного феномена прото-упорядочивания одинакового
  9. Введение
  10. Экфант и идея «числового атомизма»
  11. Sitz im Lebenпифагорейских псевдоэпиграфов
  12. Проблемы изучения трактата
  13. 2.2. Исторические свидетельства о трактате «О природе космоса и души»
  14. 2.4. О природе космоса и души. Философский комментарий к трактату
  15. Особенности раннепифагорейского понимания порядка