<<
>>

Дотеэтетовский арифметичекий подход

Авторитеты истории древнегреческой математики более или менее согласны с тем, что раннепифагорейская математика была прежде всего «арифметической», нежели «геометрической». Более того, в отличие от геометрии, в арифметике ранние пифагорейцы от Гиппаса до Феодора были практически монополистами.

Как отмечает Жмудь, «все известные нам математики V-IV вв. были пифагорейцами, либо их учениками (как Теэтет и Эвдокс). Более того, Аристоксен считал Пифагора основателем теоретической науки о числах»[369][370]; книги VII-IX «Начал» происходят, наверное, от пифагорейцев. Архит свидетельствует (оценка пифагорейской арифметики):

Думается, что искусство счета (λογιστική) весьма превосходит прочие искусства в том, что касается мудрости (σοφία), в том числе и геометрическое искусство, ибо она с большей очевидностью трактует то, что ей нужно. [...] И там, где геометрия оказывается бессильной, искусство счета восполняет доказательства, и равным образом при любом исследовании фигур (είδέων πραγματεία), и то, что относится к фигурам.[371]

В науке широко распространено мнение, что «искусство счета» в период от Гиппаса до Феодора было «псефическим» (dot-arithmetics или pebble­arithmetics). Это означает, что числа были представлены с помощью двухмерного построения камешков (псефов — ψήφοι). Ядром древней псефической арифметики была теория четного и нечетного. Это утверждение имеет определенное, но не совсем бесспорное, текстуальное подтверждение. Одно из главных свидетельств — фрагмент, приписываемый комедиографу Эпихарму (сер. V в.). Он подтверждает, что в V веке арифметика изучалась с помощью точек (камешков) и что широкая публика знала, что четность числа

372

меняется, если от числа отнять единицу:

— к нечетному числу или, если тебе угодно, к четному, Кто-нибудь пожелает прибавить камушек [=единицу] или же отнять

[его] от имеющихся в наличии:

Как ты думаешь, будет ли это то же [число]? — По-моему нет.371 [372][373][374]

Другое важное свидетельство — описание гномона из «Физики»:

Далее, пифагорейцы отождествляют бесконечное с четным [числом], ибо оно, [четное], будучи заключено внутри и ограничено нечетным, сообщает существующим [вещам] бесконечность. Доказательством этому служит то, что происходит с числами, а именно если накладывать гномоны вокруг единицы или за исключением [нее], то в последнем случае получается всегда другой вид [фигуры], в первом же — один и

374

тот же.

Рис. 8: Гномоны [Lucic 2015b: 1.3].

Гномон сохраняет неизменной форму того, к чему его прибавляют375, и с большой долей уверенности мы можем сказать, что он принадлежит к тому же типу псефической арифметики, что и теория четных и нечетных чисел.[375][376]

Также Хит продемонстрировал, что средствами псефической арифметики, то есть с помощью гномона, ранние пифагорейцы могли проверять разные «пифагорейские тройки»:[377][378]если к квадрату нечетного числа добавить гномон, являющийся квадратным числом, то наглядно получается новое квадратное число, а тем самым, и «пифагорейская тройка».

Саму «теорему Пифагора» Эвклид формулирует так:

В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен квадратам на сторонах,

378заключающих прямой угол.

Историки математики реконструировали теорию четного и нечетного, которая могла существовать в V веке, а также методы анализа, которые использовались пифагорейцами.

Главная истина древней теории о четном и нечетном видна в выше приведенном фрагменте Эпихарма, истолкованному в смысле «четность изменяется одним псефом»; такое толкование (как и само существование
псефической арифметики) подкрепляется определением нечетного у Эвклида,

379

которое явно опирается на нечто вроде визуального представления чисел:

Определение 6: Четное число есть делящееся пополам.

Определение 7: Нечетное же — не делящееся пополам или

380

отличающееся на единицу од четного числа.

В соответствии с этим толкованием, Бекер, ссылаясь на Барнета,[379][380][381]утверждал, что целое число представлялось рядом камешков в двух цветах, а сложные числа —квадратами или прямоугольниками:

Рис. 9: Линейные и фигурные числа [Lucic 2015b: 2.3].

Аристоксен во фрагменте 23 в контексте пифагорейцев так определяет четные и нечетные числа (это тоже считается подтверждением псефической природы ранней арифметики):

Четными числами называются те, что делятся на равные части, нечетными — те, что на неравные и имеют середину. Поэтому считается, что по нечетным дням происходят кризисы болезней и перемены, связанные с началом [болезни], кульминацией и выздоровлением, так как нечетное число имеет начало, середину и конец.[382]

Разница между четными и нечетными числами такова:

Рис. 10: Четные и нечетные числа. Нечетные числа имеют «середину» [Lucic 2015b: 2.3].

Как объясняет Жмудь, «говорить о середине применительно к числу имеет смысл лишь в том случае, если его представляют в виде счетных камешков, псефов». Если сравнить определение Эвклида, видно, что концепт числа эволюционировал; поэтому описание, сохранившееся у более поздних авторов, старше, и, скорее всего, действительно происходит из пифагорейской математики V века.[383]Несмотря на это, определения VII.8-11 «Начал» соответствуют основному знанию древней теории о четном и нечетном.

Рис. 11: Примеры умножения четных и нечетных чисел; нечетный результат имеет «середину» и в прямоугольной форме [Lucic 2015b: 2.3].

Однако критика реконструкции псефической арифметики достаточно сильная.[384]Филип отрицал важность упомянутого пассажа из «Физики», говоря, что он не представляет интереса для истории арифметики и что идея

о камешках идет от Платона.[385]Этот вывод соотносится с оценкой Буркерта, что до Архита пифагорейская арифметика состояла из «заимствованных у вавилонян формул, числовой мистики и туманной спекуляции о четном и

386 нечетном».[386]

В одной из последних работ на эту тему Нец доказывает[387], что весь концепт «псефической арифметики» ошибочен и что целые книги (напр. [Knorr 1975]) написаны на основе, по сути, неправильной идеи — «гипотезы Бекера». Он считает, что «камешки» — это просто метоним для «калькуляцию», которая в это время была связана со всеприсутствующим абакусом. Из этого следует, что все, что мы знаем об Эврите, Эпихарме и т. д. (где речь идет о «numbers-as-constituted-by-counters») не говорит ни о каком специальном знании. Для греков числа — «counters». Более того, фрагмент Эпихарма, который приводят как ключевое свидетельство о «псефической арифметике» и теории «четного и нечетного» в V веке, возможно, не является подлинным. «Знание» публики по данному вопросу не должно никого удивлять — они все знали, что такое абакус.[388]

Нец находит источники заблуждения о «псефической арифметике» в кратко вышеописанном нами толковании Бекера; как напоминает Нец, толкование было предложено Барнетом еще в конце XIX века[389]и потом разработано самим Бекером в 1936 г. «Гипотеза Бекера» — это заблуждение о существовании «специфической формы раннепифагорейской арифметики» и вера в то, что фрагменты «Начал» (прежде всего IX.21-34) являются копией этой древней арифметики.[390]Нец делает вывод похожий на вывод Буркерта,
что первым и последним математиком у ранних пифагорейцев был Архит.[391]

Как мы видим, все эти аргументы обосновываются в рамках интерпретации пифагорейской «математики» как части предыстории сегодняшней математики. Если отбросить этот компонент, остается факт, что некое занятие числами (в доаристотелевском смысле) существовало. И то, что оно не имеет ценности для истории математики (как говорил Филип), никак не означает, что оно не имеет значения для истории мысли.

Значит, на наш взгляд, в данном случае нет причин не доверять Аристотелю, потому что предложенная стандартная интерпретация псефической арифметики согласуется с независимыми свидетельствами. Место теории четного и нечетного соответствует важности этих концептов для Филолая. Как правильно отмечает Лучич, псефами невозможно представить число как абстрактный концепт, и этот факт соответствует нашим выводам о несовместимости аристотелевского концепта числа с мыслительными феноменами, которые мы находим во фрагментах Филолая и в практике Эврита (связь с Эвритом отмечал и Норр[392]). Также с этим идеально согласуется и практика конструирования «треугольных чисел», и, возможно, «Петрон» (подраздел 2.2.1). Как добавляет Лучич, наверное, уже в середине IV века камешки не были основным средством арифметики[393]; это можно предполагать с большой уверенностью, потому что до этого появилась радикально новая идея числа; об этом поговорим в подразделе 2.3.4.

Отрицание «математической» ценности псефической арифметики, возможно, частично связано и с тем, что ее достижения кажутся незначительными. Попробуем показать, что это не совсем так.

2.3.4.

<< | >>
Источник: Лечич Никола Добривоевич. Общий источник генезиса логики и теории зла в идеях ранней пифагорейской школы. Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук. Москва - 2016. 2016

Еще по теме Дотеэтетовский арифметичекий подход:

  1. Предварительная формулировка мыслительного феномена прото-упорядочивания одинакового
  2. ВВЕДЕНИЕ
  3. ГЛАВА I Псевдопифагорика
  4. 2.4. О природе космоса и души. Философский комментарий к трактату
  5. 1.1. Жизнеописание Прокла у античных авторов.
  6. Античная традиция истолкования «Алкивиада I».
  7. Самопознание как начало философского познания.
  8. Виды возвращения.
  9. 3.9. Диалектическое познание.
  10. Ранние пифагорейцы как часть досократической философии
  11. Потомство единого: к феномену повторения единиц
  12. Мыслительный феномен несоизмеримости в раннем пифагореизме
  13. Формулировка мыслительного феномена не-места и описание раннепифагорейского дуализма