Дотеэтетовский арифметичекий подход

Авторитеты истории древнегреческой математики более или менее согласны с тем, что раннепифагорейская математика была прежде всего «арифметической», нежели «геометрической». Более того, в отличие от геометрии, в арифметике ранние пифагорейцы от Гиппаса до Феодора были практически монополистами.

Думается, что искусство счета (λογιστική) весьма превосходит прочие искусства в том, что касается мудрости (σοφία), в том числе и геометрическое искусство, ибо она с большей очевидностью трактует то, что ей нужно. [...] И там, где геометрия оказывается бессильной, искусство счета восполняет доказательства, и равным образом при любом исследовании фигур (είδέων πραγματεία), и то, что относится к фигурам.^[371]

В науке широко распространено мнение, что «искусство счета» в период от Гиппаса до Феодора было «псефическим» (dot-arithmetics или pebble­arithmetics). Это означает, что числа были представлены с помощью двухмерного построения камешков (псефов — ψήφοι). Ядром древней псефической арифметики была теория четного и нечетного. Это утверждение имеет определенное, но не совсем бесспорное, текстуальное подтверждение. Одно из главных свидетельств — фрагмент, приписываемый комедиографу Эпихарму (сер. V в.). Он подтверждает, что в V веке арифметика изучалась с помощью точек (камешков) и что широкая публика знала, что четность числа

372

меняется, если от числа отнять единицу:

— к нечетному числу или, если тебе угодно, к четному, Кто-нибудь пожелает прибавить камушек [=единицу] или же отнять

[его] от имеющихся в наличии:

Как ты думаешь, будет ли это то же [число]? — По-моему нет.^{371 [372][373][374]}

Другое важное свидетельство — описание гномона из «Физики»:

Далее, пифагорейцы отождествляют бесконечное с четным [числом], ибо оно, [четное], будучи заключено внутри и ограничено нечетным, сообщает существующим [вещам] бесконечность. Доказательством этому служит то, что происходит с числами, а именно если накладывать гномоны вокруг единицы или за исключением [нее], то в последнем случае получается всегда другой вид [фигуры], в первом же — один и

374

тот же.

Рис. 8: Гномоны [Lucic 2015b: 1.3].

Гномон сохраняет неизменной форму того, к чему его прибавляют^375, и с большой долей уверенности мы можем сказать, что он принадлежит к тому же типу псефической арифметики, что и теория четных и нечетных чисел.^[375][376]

Также Хит продемонстрировал, что средствами псефической арифметики, то есть с помощью гномона, ранние пифагорейцы могли проверять разные «пифагорейские тройки»:^[377][378]если к квадрату нечетного числа добавить гномон, являющийся квадратным числом, то наглядно получается новое квадратное число, а тем самым, и «пифагорейская тройка».

В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен квадратам на сторонах,

378заключающих прямой угол.

Историки математики реконструировали теорию четного и нечетного, которая могла существовать в V веке, а также методы анализа, которые использовались пифагорейцами.

Главная истина древней теории о четном и нечетном видна в выше приведенном фрагменте Эпихарма, истолкованному в смысле «четность изменяется одним псефом»; такое толкование (как и само существование
псефической арифметики) подкрепляется определением нечетного у Эвклида,

379

которое явно опирается на нечто вроде визуального представления чисел:

Определение 6: Четное число есть делящееся пополам.

Определение 7: Нечетное же — не делящееся пополам или

380

отличающееся на единицу од четного числа.

В соответствии с этим толкованием, Бекер, ссылаясь на Барнета,^{[379][380][381]}утверждал, что целое число представлялось рядом камешков в двух цветах, а сложные числа —квадратами или прямоугольниками:

Рис. 9: Линейные и фигурные числа [Lucic 2015b: 2.3].

Аристоксен во фрагменте 23 в контексте пифагорейцев так определяет четные и нечетные числа (это тоже считается подтверждением псефической природы ранней арифметики):

Четными числами называются те, что делятся на равные части, нечетными — те, что на неравные и имеют середину. Поэтому считается, что по нечетным дням происходят кризисы болезней и перемены, связанные с началом [болезни], кульминацией и выздоровлением, так как нечетное число имеет начало, середину и конец.^[382]

Разница между четными и нечетными числами такова:

Рис. 10: Четные и нечетные числа. Нечетные числа имеют «середину» [Lucic 2015b: 2.3].

Как объясняет Жмудь, «говорить о середине применительно к числу имеет смысл лишь в том случае, если его представляют в виде счетных камешков, псефов». Если сравнить определение Эвклида, видно, что концепт числа эволюционировал; поэтому описание, сохранившееся у более поздних авторов, старше, и, скорее всего, действительно происходит из пифагорейской математики V века.^[383]Несмотря на это, определения VII.8-11 «Начал» соответствуют основному знанию древней теории о четном и нечетном.

Рис. 11: Примеры умножения четных и нечетных чисел; нечетный результат имеет «середину» и в прямоугольной форме [Lucic 2015b: 2.3].

Однако критика реконструкции псефической арифметики достаточно сильная.^[384]Филип отрицал важность упомянутого пассажа из «Физики», говоря, что он не представляет интереса для истории арифметики и что идея

о камешках идет от Платона.^[385]Этот вывод соотносится с оценкой Буркерта, что до Архита пифагорейская арифметика состояла из «заимствованных у вавилонян формул, числовой мистики и туманной спекуляции о четном и

386 нечетном».^[386]

В одной из последних работ на эту тему Нец доказывает^[387], что весь концепт «псефической арифметики» ошибочен и что целые книги (напр. [Knorr 1975]) написаны на основе, по сути, неправильной идеи — «гипотезы Бекера». Он считает, что «камешки» — это просто метоним для «калькуляцию», которая в это время была связана со всеприсутствующим абакусом. Из этого следует, что все, что мы знаем об Эврите, Эпихарме и т. д. (где речь идет о «numbers-as-constituted-by-counters») не говорит ни о каком специальном знании. Для греков числа — «counters». Более того, фрагмент Эпихарма, который приводят как ключевое свидетельство о «псефической арифметике» и теории «четного и нечетного» в V веке, возможно, не является подлинным. «Знание» публики по данному вопросу не должно никого удивлять — они все знали, что такое абакус.^[388]

Нец находит источники заблуждения о «псефической арифметике» в кратко вышеописанном нами толковании Бекера; как напоминает Нец, толкование было предложено Барнетом еще в конце XIX века^[389]и потом разработано самим Бекером в 1936 г. «Гипотеза Бекера» — это заблуждение о существовании «специфической формы раннепифагорейской арифметики» и вера в то, что фрагменты «Начал» (прежде всего IX.21-34) являются копией этой древней арифметики.^[390]Нец делает вывод похожий на вывод Буркерта,
что первым и последним математиком у ранних пифагорейцев был Архит.^[391]

Как мы видим, все эти аргументы обосновываются в рамках интерпретации пифагорейской «математики» как части предыстории сегодняшней математики. Если отбросить этот компонент, остается факт, что некое занятие числами (в доаристотелевском смысле) существовало. И то, что оно не имеет ценности для истории математики (как говорил Филип), никак не означает, что оно не имеет значения для истории мысли.

Значит, на наш взгляд, в данном случае нет причин не доверять Аристотелю, потому что предложенная стандартная интерпретация псефической арифметики согласуется с независимыми свидетельствами. Место теории четного и нечетного соответствует важности этих концептов для Филолая. Как правильно отмечает Лучич, псефами невозможно представить число как абстрактный концепт, и этот факт соответствует нашим выводам о несовместимости аристотелевского концепта числа с мыслительными феноменами, которые мы находим во фрагментах Филолая и в практике Эврита (связь с Эвритом отмечал и Норр^[392]). Также с этим идеально согласуется и практика конструирования «треугольных чисел», и, возможно, «Петрон» (подраздел 2.2.1). Как добавляет Лучич, наверное, уже в середине IV века камешки не были основным средством арифметики^[393]; это можно предполагать с большой уверенностью, потому что до этого появилась радикально новая идея числа; об этом поговорим в подразделе 2.3.4.

Отрицание «математической» ценности псефической арифметики, возможно, частично связано и с тем, что ее достижения кажутся незначительными. Попробуем показать, что это не совсем так.

2.3.4.